《高等数学》课程教学资源（作业习题）第十章_作业 第十章 重积分

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 1二重积分的概念与性质 一、填空、选择题 ◆1设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,薄片上分布有面密度为(x,)的电荷，且4x,y) 在D上连续，则薄片上的全部电荷可用二重积分表示为 2.设D是由(0,0)，(1,0，(0，)为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得 川-x-y)d=】 3.设f()为连续函数，则由平面：=0、柱面x2+y2=1和曲面：=2(y)所围立体的体积可用 二重积分表示为 41-具然n了则1满足 (A子≤1≤2：(B)2≤1s3:(C)0≤1s分D)-1s1s0 5设1=ln(x+do,2=∬cx+Pdo,=∬x+do,其中D是由直线x=0,y=0, x+y=)及x+y=1所围成的区域，则，4，山的大小顺利为 (A)13≤2≤1：(B)I≤12≤13：(C)1≤1≤12：(D)1≤1≤2 6.设D:x2+y2≤a2(a>0),则川Va-x2-y2dd= 7若fx,)在D上连续，且DcD,是否一定有∬f(x.y)da≤x,ydo? 二、试讨论∬cx2+ydo与∬ex2+y)do的关系，其中 D=《x,y1≤x≤1，-2≤y≤2}，D,=《xyl0≤x≤1,0≤y≤2} 1

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 1 1 二重积分的概念与性质 一、填空、选择题 *1.设有一平面薄片占有 xoy 面上的闭区域 D ，薄片上分布有面密度为 (x, y) 的电荷，且 (x, y) 在 D 上连续，则薄片上的全部电荷可用二重积分表示为 . 2.设 D 是由 (0,0),(1,0),(0,1) 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得     D (1 x y)dxdy . 3.设 f (t) 为连续函数，则由平面 z  0、柱面 1 2 2 x  y  和曲面 ( ) 2 z  f xy 所围立体的体积可用 二重积分表示为 . 4.设       1 2 2 1 cos sin x y x y dxdy I ，则 I 满足 （ ） （A） 2 3 2  I  ； （B） 2  I  3 ； （C） 2 1 0  I  ； （D）1 I  0 5.设          D D D I ln(x y)d, I (x y) d, I 3 (x y)d 2 1 2 ，其中 D 是由直线 x  0, y  0， 2 1 x  y  及 x  y 1 所围成的区域，则 1 2 3 I ,I ,I 的大小顺利为 （ ） （A） 3 2 1 I  I  I ； （B） 1 2 3 I  I  I ；（C） 1 3 2 I  I  I ；（D） 3 1 2 I  I  I 6.设 : ( 0) 2 2 2 D x  y  a a  ，则     D a x y dxdy 2 2 2 . 7.若 f (x, y) 在 D 上连续，且 D1  D，是否一定有    D D f (x, y)d f (x, y)d 1 ？ . 二、试讨论   D (x y )d 2 2 与   1 ( ) 2 2 D x y d 的关系，其中 D  (x, y) 1 x 1,2  y  2， D1  (x, y) 0  x 1,0  y  2

三、试利用二重积分的性质估计下列积分值： 1、1-川x+y+2)do,其中D=《xy0≤x≤1,0≤y≤2} 2、1=∬(x2+4y2+1)do,其中D=《x,yx2+y2≤4} *三、设f(x,y)是连续函数，试利用积分中值定理求极限 卿时fxa

2 三、试利用二重积分的性质估计下列积分值： 1、     D I (x y 2)d ，其中 D  (x, y) 0  x 1,0  y  2 2、     D I (x 4y 1)d 2 2 ，其中 ( , ) 4 2 2 D  x y x  y  *三、设 f (x, y) 是连续函数，试利用积分中值定理求极限     2 2 2 ( , ) 1 lim 2 0 x y r r f x y d r 

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 2-1二重积分的计算法（一） 一、填空题 1.设区域D=《x,y)≤1以s1则二重积分川(x2+y2)do= 2.设平面薄片所占的闭区域由直线x+y=2,y=x及y轴所围成，它的面密度为 4(xy)=x2+y2,则该平面薄片的质量为 3.交换二次积分的次序∫∫∫x,y)d= 4交换二次积分的次序心fx,)d= 5交换二次积分的次序∫∫fx,y= 二、计算下列二重积分 1.I=川(3x+2y)o,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域： 2.I=∬x√do,其中D是由两条抛物线y=Vxy=x2所围成的闭区域： 3

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 3 2-1 二重积分的计算法(一） 一、填空题 1.设区域 D  (x, y) x 1, y 1，则二重积分    D (x y )d 2 2 . *2. 设平面薄片所占的闭区域由直线 x  y  2, y  x 及 y 轴所围成，它的面密度为 2 2 (x, y)  x  y ，则该平面薄片的质量为 . 3.交换二次积分的次序    1 0 1 ( , ) x dx f x y dy . 4.交换二次积分的次序    2 0 2 2 ( , ) y y dy f x y dx . 5.交换二次积分的次序    e 1 ln 0 ( , ) x dx f x y dy . 二、计算下列二重积分 1.    D I (3x 2y)d ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x  y  2 所围成的闭区域； 2.   D I x yd ，其中 D 是由两条抛物线 2 y  x, y  x 所围成的闭区域；

3.1=∬(x2+y2-x)do,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域： 41-了手6，其中D是由直线x=2y=x及自线=1所国成的同区线 三、化二重积分1=∬fx,dG为二次积分（两种不同次序），其中积分区域D是由直线y=x 及抛物线y2=4x所围成的闭区域。 四、计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体 的体积

4 3.     D I (x y x)d 2 2 ，其中 D 是由直线 y  2, y  x 及 y  2x 所围成的闭区域； 4.   D d y x I  2 2 ，其中 D 是由直线 x  2, y  x 及曲线 xy 1 所围成的闭区域. 三、化二重积分   D I f (x, y)d 为二次积分（两种不同次序），其中积分区域 D 是由直线 y  x 及抛物线 y 4x 2  所围成的闭区域. 四、计算由四个平面 x  0, y  0, x 1, y 1 所围的柱体被平面 z  0 及 2x 3y  z  6 截得的立体 的体积

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 2-2二重积分的计算法（二） 一、填空题 1.设区域D=《x,yx2+y2≤1}，则二重积分[(x2+y2)do= 2.设区域D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=x,y=0所围成的在第一象限的闭区域， 3.∫∫。f(x,y)d转化成极坐标系下的二次积分为 4.∫。f(x,y)d转化成极坐标系下的二次积分为 二、计算下列各题 1、川erdo,其中D是由圆周x2+y2=ad所围成的闭区域： 2、ln(1+x2+y2)do,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域： 5

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 5 2-2 二重积分的计算法(二） 一、填空题 1.设区域 ( , ) 1 2 2 D  x y x  y  ，则二重积分    D (x y )d 2 2 . 2.设区域 D 是由圆周 1 4 2 2 2 2 x  y  ，x  y  及直线 y  x, y  0 所围成的在第一象限的闭区域， 则二重积分   D d x y arctan  . 3.   1 0 0 ( , ) x dx f x y dy 转化成极坐标系下的二次积分为 . 4.   1 0 1 ( , ) y dy f x y dx 转化成极坐标系下的二次积分为 . 二、计算下列各题 1、   D x y e d 2 2 ，其中 D 是由圆周 2 2 2 x  y  a 所围成的闭区域； 2、    D ln(1 x y )d 2 2 ，其中 D 是由圆周 1 2 2 x  y  及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域；

3、∬Vx2+ydo,其中D是圆环形闭区域：《x,ya2≤x2+y2≤b2} 三、计算以xOy面上的圆周x2+y2=a围成的闭区域为底，以曲面：=x2+y2为顶的曲顶柱体的 体积 四、求由曲面z=x2+2y2及：=6-2x2-y2所围成的立体的体积， 6

6 3、   D x y d 2 2 ，其中 D 是圆环形闭区域：   2 2 2 2 (x, y) a  x  y  b . 三、计算以 xoy 面上的圆周 x  y  ax 2 2 围成的闭区域为底，以曲面 2 2 z  x  y 为顶的曲顶柱体的 体积. 四、求由曲面 2 2 z  x  2y 及 2 2 z  6 2x  y 所围成的立体的体积

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 3三重积分 一、填空题 1.化三重积分川f(x,八，)d止为直角坐标系下的三次积分 其中积分区域2是由三个坐标面及平面3x+y+:=1所围成的闭区域. *2.设有一物体占有空间闭区域2=《x少，0≤x≤1,0≤y≤1,0≤：≤1}，其体密度为 (x,y,)=x+y+2,则该物体质量可用三重积分表示为 其值为 二、计算∬y:dt,其中2是曲面：=y与平面y=xx=1和：=0所围成的闭区域 三、计算订zd止，其中2是球面x2+y2+2=1及三个坐标面围成的第一卦限内的闭区域. 7

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 7 3 三重积分 一、填空题 1.化三重积分   f (x, y,z)dxdydz 为直角坐标系下的三次积分 ， 其中积分区域  是由三个坐标面及平面 3x  y  z 1 所围成的闭区域. *2.设有一物体占有空间闭区域   (x, y,z) 0  x 1,0  y 1,0  z 1，其体密度为 (x, y,z)  x  y  z ，则该物体质量可用三重积分表示为 ， 其值为 . 二、计算   xy zdxdydz 2 ，其中  是曲面 z  xy 与平面 y  x, x 1 和 z  0 所围成的闭区域. 三、计算   xyzdxdydz ，其中  是球面 1 2 2 2 x  y  z  及三个坐标面围成的第一卦限内的闭区域

四、计算∬(x2+y2)冰，其中Ω是曲面x2+y2=2:及平面：=2所围成的闭区域 五、计算川，其中2是柱面x2+y2=1及平面z=1,x=0,y=0,:=0所围成的第一卦限内的 闭区域 六、计算(x2+y2+2),其中2是球面x2+y2+z2-1所围成的闭区域 8

8 四、计算   (x  y )dv 2 2 ，其中  是曲面 x y 2z 2 2   及平面 z  2 所围成的闭区域. 五、计算   xydv ，其中  是柱面 1 2 2 x  y  及平面 z 1, x  0, y  0,z  0 所围成的第一卦限内的 闭区域. 六、计算   (x  y  z )dv 2 2 2 ，其中  是球面 1 2 2 2 x  y  z  所围成的闭区域

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 4重积分的应用 一、求平面2x+2y+z=4被圆柱面x2+y2=1割下的那部分面积 二、已知曲面：：=6-x2-y2与曲面82：：=Vx2+y2 1求两曲面所围成的立体2的体积： 2.求立体Ω的表面积（Σ，部分）

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 9 4 重积分的应用 一、求平面 2x  2y  z  4 被圆柱面 1 2 2 x  y  割下的那部分面积. 二、 已知曲面 2 2 1：z  6 x  y 与曲面 2 2 2  ：z  x  y . 1.求两曲面所围成的立体  的体积； 2.求立体  的表面积（ 1 部分）

三、求锥面z=√x2+y被柱面2=2x所割下部分的曲面面积 四、求球面x2+y2+z2=1含在圆柱面x2+y2=x内部的那部分面积 五、一均匀物体占有的闭区域Ω由曲面z=x2+y2和平面z=0,x=a,=a所围成， 求该物体的体积

10 三、求锥面 2 2 z  x  y 被柱面 z 2x 2  所割下部分的曲面面积. 四、求球面 1 2 2 2 x  y  z  含在圆柱面 x  y  x 2 2 内部的那部分面积. 五、一均匀物体占有的闭区域  由曲面 2 2 z  x  y 和平面 z  0, x  a, y  a 所围成， 求该物体的体积