《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 空间解析几何与向量代数_2.会求平面与平面之间的夹角，会利用平面的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。_》8-3 平面及其方程

第三节平面及其方程

第三节 平面及其方程

平面及其方程 曲面方程与空间曲线方程概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、 两平面的夹角

平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线方程概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角

平面及其方程 曲面方程与空间曲线方程慨念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角

平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线方程概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角

>曲面方程概念 如果曲面S与方程F(xy,z)=0有下述关系： F(xy,2)=0 ()曲面S上的任意点的坐标都满足此方程； (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程， 则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程， 曲面S叫做方程Fx,y,2)=0的图形. >曲线方程概念 空间曲线可视为两曲面S1,S的交线 方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 )=0 F(x,y,=0 称为空间曲线©的方程， 曲线C称为方程组的图形

F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系: (1) 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程; 则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程, 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. (2) 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程, ➢曲面方程概念 ➢曲线方程概念 空间曲线可视为两曲面S1 , S2的交线. S2 G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 S1 G(x, y,z) = 0 C 方程组 称为空间曲线C的方程, 曲线C称为方程组的图形

平面及其方程 曲面方程与空间曲线方程概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角

平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线方程概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角

平面及其方程 曲面方程与空间曲线方程概念 二、 平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、 两平面的夹角

平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线方程概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角

>方程的建立 通过点M(xo,yo,o) 设平面· 垂直于非零向量=（A,B,C),一法向量 任取M(x,y,z)eΠ， →MoM1月 →MM·n=0 MoM=(x-x0,y-y0,2=20) A(x-xo)+B(y-y%)+C(2-0)=0 平面Π的点法式方程

 z y x o M0 n ( , , ) 0 0 0 0 通过点 M x y z 垂直于非零向量 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 平面的点法式方程 设平面 M ( x, y,z)  , n = (A , B, C), M M ⊥n 0 0 M0M n = 任取 ➢方程的建立 法向量

A(x-x0)+B(y-y0)+C(2-20)=0 ◆例1求过点(2，-3,0)以=(1，-2,3)为法向量的平面方程 ◆例2求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程， M3

M1 M2 M3 求过三点 的平面的方程.  n ◆例2 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = ◆例1求过点(2,-3,0)以 为法向量的平面方程

例2.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n=MM2×MM3 M M3 Π -34-6 M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈·，利用点法式得平面Ⅱ的方程 14(x-2)+9y+1)-(2-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 机动目录上页下页返回结束

i j k = 例2.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M 2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 3 4 -6 =0 -2 3 般情况：过三点Mk(xk,y%,2k)(=1,2,3) 的平面方程为 x-为1y-1 z-21 x2-1y2-y1 22-1 =0 x3-X1 3-1 23-21 >08 机动目录上页下页返回结束

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束