《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 线性方程组 3.12齐次线性方程组解的结构

高等代数 齐次线性方程组解的结构

高等代数 齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系

齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系

一、齐次线性方程组解的性质 第三章线性方程组 设齐次线性方程组 a11x1+a12x2+.+a1nXn=0, a21x1+a22X2+.+a2nXn=0, (1) as1x1+as2x2+.+asnxn =0 性质1齐次线性方程组(1)的两个解的和还是方程组(1)的解 性质2齐次线性方程组(1)解的倍数还是方程组(1)的解， 。 齐次线性方程组解的线性组合还是解

一、齐次线性方程组解的性质 第三章 线性方程组 设齐次线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 （1） 性质1 齐次线性方程组(1)的两个解的和还是方程组(1)的解. 性质2 齐次线性方程组(1)解的倍数还是方程组(1)的解. • 齐次线性方程组解的线性组合还是解

齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系

齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系

二、基础解系 第三章线性方程组 定义设1,2，.，1s是齐次线性方程组(1)的一组解，如果 （1)1,2,.,n线性无关； (2)齐次线性方程组(1)的任一解都可以由)1,2，.，)线性表示， 则称1,2，.，门s是方程组(1)的一个基础解系 基础解系其实就是齐次线性方程组解向量组的一个极大线性无 关组

二、基础解系 第三章 线性方程组 定义 设𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ , 𝜼𝒔是齐次线性方程组(1)的一组解，如果 （1）𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ , 𝜼𝒔线性无关； （2）齐次线性方程组(1)的任一解都可以由𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ ,𝜼𝒔线性表示， 则称𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ , 𝜼𝒔是方程组(1)的一个基础解系. • 基础解系其实就是齐次线性方程组解向量组的一个极大线性无 关组

二、基础解系 第三章线性方程组 定理在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它一定有基础解系， 并且基础解系所含向量的个数等于n-r,这里n是未知量的个数， r是系数矩阵的秩 证明首先，当方程组有非零解的时候我们可以求出它的一般解， x1=a1,r+1Xr+1+a1,r+2xr+2+.+a1,nXn X2=a2,r+1xr+1+a2,r+2xr+2+.+a2,nXn Xr arr+1xr+1+ar.r+2xr+2+.+ar.nxn (xr+1,Xr+2,.,Xn是自由未知量)

二、基础解系 第三章 线性方程组 定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它一定有基础解系， 并且基础解系所含向量的个数等于𝒏 − 𝒓，这里𝒏是未知量的个数， 𝒓是系数矩阵的秩. 证明 首先，当方程组有非零解的时候我们可以求出它的一般解， 𝒙𝟏 = 𝒂𝟏,𝒓+𝟏𝒙𝒓+𝟏 + 𝒂𝟏,𝒓+𝟐𝒙𝒓+𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏,𝒏𝒙𝒏, 𝒙𝟐 = 𝒂𝟐,𝒓+𝟏𝒙𝒓+𝟏 + 𝒂𝟐,𝒓+𝟐𝒙𝒓+𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐,𝒏𝒙𝒏, ⋯ ⋯ 𝒙𝒓 = 𝒂𝒓,𝒓+𝟏𝒙𝒓+𝟏 + 𝒂𝒓,𝒓+𝟐𝒙𝒓+𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒓,𝒏𝒙𝒏, (𝒙𝒓+𝟏, 𝒙𝒓+𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏是自由未知量)

二、基础解系 第三章线性方程组 令 Xr+1 Xr+2 得n-r个解 01,r+1 01,r+2 1,n arr+1 arr+2 arn 1= 1 ,12= 0 ，.,门n-r= 0 0 1 0 0 0 首先，由后面n-个分量，1,2，.，门n-r是线性无关的

二、基础解系 第三章 线性方程组 令 𝒙𝒓+𝟏 𝒙𝒓+𝟐 ⋮ 𝒙𝒏 = 𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎 , 𝟎 𝟏 ⋮ 𝟎 , ⋯ , 𝟎 𝟎 ⋮ 𝟏 得𝒏 − 𝒓个解 𝜼𝟏 = 𝒂𝟏,𝒓+𝟏 ⋮ 𝒂𝒓,𝒓+𝟏 𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎 , 𝜼𝟐 = 𝒂𝟏,𝒓+𝟐 ⋮ 𝒂𝒓,𝒓+𝟐 𝟎 𝟏 ⋮ 𝟎 ,⋯ , 𝜼𝒏−𝒓 = 𝒂𝟏,𝒏 ⋮ 𝒂𝒓,𝒏 𝟎 𝟎 ⋮ 𝟏 首先，由后面𝒏 − 𝒓个分量，𝜼𝟏 , 𝜼𝟐 , ⋯ , 𝜼𝒏−𝒓是线性无关的

二、基础解系 第三章线性方程组 设y= k2 是方程组()的任一个解，考虑 kr+in1 kr+202 +knnn-r Kr+1 kr+2 kn 这两个向量的后一r个分量，也就是自由未知量的取值是相同的，所以有 Y kr+in1 kr+2n2 +knnn-r

二、基础解系 第三章 线性方程组 设𝜸 = 𝒌𝟏 𝒌𝟐 ⋮ 𝒌𝒏 是方程组(1)的任一个解，考虑 𝒌𝒓+𝟏𝜼𝟏 + 𝒌𝒓+𝟐𝜼𝟐 + ⋯ 𝒌𝒏𝜼𝒏−𝒓 = ∗ ⋮ ∗ 𝒌𝒓+𝟏 𝒌𝒓+𝟐 ⋮ 𝒌𝒏 这两个向量的后𝒏 − 𝒓个分量，也就是自由未知量的取值是相同的，所以有 𝜸 = 𝒌𝒓+𝟏𝜼𝟏 + 𝒌𝒓+𝟐𝜼𝟐 + ⋯ 𝒌𝒏𝜼𝒏−𝒓

二、基础解系 第三章线性方程组 1,2,.,m-r是齐次线性方程组（①）的一个基础解系 如果1,2，.，t也是方程组(1)的一个基础解系，由基础解系的 定义n1,2,.,门m-r与1,2，.，可以相互线性表示，因此是等价 的，而且都线性无关，因此含有相同个数的向量，从而 t n-r, 因此方程组(1)的任何一个基础解系都含有一r个向量，与自由未 知量的个数相同

二、基础解系 第三章 线性方程组 𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ , 𝜼𝒏−𝒓是齐次线性方程组(1)的一个基础解系. 如果𝝃𝟏, 𝝃𝟐, ⋯ , 𝝃𝒕也是方程组(1)的一个基础解系，由基础解系的 定义𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ , 𝜼𝒏−𝒓与𝝃𝟏, 𝝃𝟐, ⋯ , 𝝃𝒕可以相互线性表示，因此是等价 的，而且都线性无关，因此含有相同个数的向量，从而 𝒕 = 𝒏 − 𝒓, 因此方程组(1)的任何一个基础解系都含有𝒏 − 𝒓个向量，与自由未 知量的个数相同

二、基础解系 第三章线性方程组 ·设门1,2，.，门n-r是方程组(1)的一个基础解系，则 Y=kin+k2n2 +kn-rnn-r (k1,k2,.,kn-r为任意数) 称为齐次线性方程组(1)的通解

二、基础解系 第三章 线性方程组 • 设𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ , 𝜼𝒏−𝒓是方程组(1)的一个基础解系，则 𝜸 = 𝒌𝟏𝜼𝟏 + 𝒌𝟐𝜼𝟐 + ⋯ 𝒌𝒏−𝒓𝜼𝒏−𝒓 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒏−𝒓为任意数 称为齐次线性方程组(1)的通解