山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第六章_6.5线性子空间

G 加东翟王大深 6.5 线性子空间

6.5 线性子空间

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 定义 非空子集构成子空问的条件 向量组生成的子空间

主要内容 定义 非空子集构成子空间的条件 向量组生成的子空间

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 例1P[x]和P[x]n都是数域P上的线性空间，而P[x]n≤P[x] P[x]n称为P[x]子空间. 定义1数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W对于V中所定 义的加法和数量乘法两种运算也构成数域P上的线性空间·

一、定义

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、非空子集构成子空间的条件 设W是V的子集合.因为V是线性空间.所以对于原 有的运算，W中的向量满足线性空间定义中的八条规则 中的规则1)，2)，5)，6)，7)，8)是 显然第了使W自身构成一线性空问，主要的条件是要求W 对于V中原来运算的封闭性，以及规则3)与4)成立·即

二、非空子集构成子空间的条件 所以对于原 中的规则 1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8)是 显然的. 即

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1.W对数量乘法运算封闭，即若a∈W,k∈P,则kC∈W. 2.W对加法运算封闭，即若a∈W,B∈W,则+B∈W, 3.0∈W. 4.若a∈W,则-a∈W. 不难看出3,4两个条件是多余的，它们已经包含在条件 1中，作为k=0与一1这两个特殊情形.因此，我们得到

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1 如果线性空问V的非空子集合W对于V的数量 乘法和加法两种运算是封闭的，那么，W就是一个子空问. ·dimW≤dimV 例2{0}是V的一个子空问，称为零子空问. 例3V本身也是V的一个子空问. ·零子空间和V本身叫做V的平凡子空问，而其它的线性子 空间叫做非平凡子空间

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4 P[x]是线性空问P[x]的子空间. 例5在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项 式组成一个子空间. 例6数域P上全体n阶对称（反对称、上三角）矩阵构成 Pnxn的一个子空间

例 5 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项 式组成一个子空间

G 山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例7在线性空间Pn中，齐次线性方程组 a11x1+a12X2+.+a1nxn=0, a21x1+a22x2+.+a2nxn=0, am1x1+am2x2++amnxn =O 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性 方程组的解空间

的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性 方程组的解空间

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设方程组的系数矩阵为A ① 如果R(A)=n,方程组只有零解，此时解空间为{0} ② 如果R(A)=0,任一n维向量都是方程组的解， 此时解空问为Pn. ③ 如果R(A)=T,解空间的基就是方程组的基础解华， 它的维数等于n一r

解空间的基就是方程组的基础解系

G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例8在三维几何空间V3中，坐标轴，例如x轴上的全体向量 记作V,它是V3的一个子空问.事实上，过原点的任何一条 直线上的全体向量均构成V3的一个子空间.1维的 而坐标平面，例如x0y平面上过原点的所有向量，记作V2, V2是V3的一个子空问.事实上，过原点的任何一个平面均 构成V3的一个2维子空间

事实上，过原点的任何一条 事实上，过原点的任何一个平面均