山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章_9.5 子空间

山求理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.5 子 空 间

9.5 子 空 间

山求理子大等 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。正交子空间 。正交补

主要内容 正交子空间 正交补

山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、正交子空间 定义1设V1,V2是欧氏空间V中两个子空问，如果对于 任意的Q∈V1,B∈V2,恒有(，β)=0，则称子空间 V1,V2为正交的，记为V1⊥V2.一个向量a∈V,如果对 于任意的B∈V,恒有(，)=0.则称向量与子空问 V1正交，记为口口V1

一、正交子空间 V1 正交，记为 ￾ ᵯ V1

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 若V1⊥V2,则对Ha∈V1,都有a⊥V2 零向量与任意的子空间正交. 因为只有零向量与它自身正交，故若V1⊥V2,则 V1∩V2={0};因此V1+V2是直和. ·由a⊥V1,a∈V1可知a=0. 定理1如果V,V2,.,V两两正交，那么V1+V2+.+ 是直和

是直和. • 零向量与任意的子空间正交

山东理工大等 HANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、正交补 定义2子空问V2称为子空问V1的一个正交补，如果 V1⊥V2,并且V1+V2=V. 显然，如果V2是V1的正交补，那么，V1也是V2的正交补 定理2n维欧氏空问V的每一个子空间V1都有唯一的正交补 ·V1的正交补记为V士. dimVi+dimV=n

二、正交补

归东翟工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 推论 V恰由所有与V1正交的向量组成.即 V=taEVla 1V} 定义3 由分解式V=V⊕V可知，V中任一向量（都可以难 一地分解成 E卫+牙见∈地∈电 称心1为向量C在子空间V1上的内射影

一地分解成 ᵯ= ᵯ1 + ᵯ2,   ᵯ1 ∈ ᵯ1,ᵯ2 ∈ ᵯ⊥1

归东程工大深 HANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例 设欧氏空间R4中向量 a1=(1,-1,-1,1),2=(1,-1,0,1),03=(1,-1,1,0) 生成的子空间为W=L(C1,Q2,3),求向量B=(2,4,1,2)在W 上的内射影