山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）7.4特征值与特征向量

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.4 特征值与特征向量

7.4 特征值与特征向量

G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。矩阵的特征值与特征向量 。线性变换的特征值与特征向量 特征子空间 性质

主要内容 矩阵的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 特征子空间 性质

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、矩阵的特征值特征向量 在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可 以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给 定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最 简单的形式一一对角矩阵. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，从而一个 线性变换是否存在一组基使得它的矩阵是一个对角矩阵的问 题和一个矩阵是否相似于一个对角矩阵是同一个问题

一、矩阵的特征值特征向量 在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可 以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给 定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最 简单的形式 ——对角矩阵. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，从而一个 线性变换是否存在一组基使得它的矩阵是一个对角矩阵的问 题和一个矩阵是否相似于一个对角矩阵是同一个问题．

山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设n阶方阵A相似于一个对角矩阵A=diag(1,几2，.，几n), 即存在可逆矩阵X,使得 X-1AX=△ AX=XA 将X按列分块，记作X=(a1,2,.,n),则 /7入1 A(1,2,.,Qn)=(Q1,2,.,n)

设 𝑛 阶方阵 𝐴 相似于一个对角矩阵Λ = diag 𝜆1 , 𝜆2 , ⋯ , 𝜆𝑛 ， 𝑋 −1𝐴𝑋 = Λ 𝐴𝑋 = 𝑋Λ 将𝑋按列分块，记作𝑋 = (𝛼1 ,𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛)，则 𝐴(𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛) = (𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ ,𝛼𝑛) 𝜆1 𝜆2 ⋱ 𝜆𝑛 即存在可逆矩阵𝑋，使得

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Ay=10=1,2,.,n) 1、定义 定义1设A是一个n阶方阵，如果存在数入和n维非零 列向量，使得 Aa=λa, 则称入是一个特征值，非零列向量称为矩阵A的属于特 征值入的一个特征向量

𝐴𝛼𝑗 = 𝜆𝑗𝛼𝑗 (𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛) 1、定义 定义1 设 𝐴 是一个 𝑛 阶方阵，如果存在数 𝜆 和 𝑛 维非零 列向量𝛼，使得 𝐴𝛼 = 𝜆𝛼, 则称 𝜆 是一个特征值， 非零列向量𝛼称为矩阵 𝐴 的属于特 征值 𝜆 的一个特征向量

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 若X-1AX=个，则个主对角线上的元素都是A的特征值， 而X的列向量就是相对应的特征值的特征向量 ·特征向量不是孤立存在的，它一定是依附于某一个特征 值的，而且一个特征向量只能对应一个特征值. 但是一个特征值却可以有无穷多个特征向量

• 若𝑋 −1𝐴𝑋 = Λ，则Λ主对角线上的元素都是𝐴的特征值， 而𝑋的列向量就是相对应的特征值的特征向量. • 特征向量不是孤立存在的，它一定是依附于某一个特征 值的，而且一个特征向量只能对应一个特征值. 但是一个特征值却可以有无穷多个特征向量

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2、特征值特征向量的性质 性质1如果是矩阵A的属于特征值入的特征向量，k是 非零常数，则k也是矩阵A的属于特征值入的特征向量. 性质2如果Q1,2都是矩阵A的属于特征值入的特征向量， 则1+2（≠0）也是矩阵A的属于特征值入的特征向量. ·综上，属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合， 还是属于这个特征值的特征向量

2、特征值特征向量的性质 性质1 如果 𝛼 是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量，𝑘是 非零常数，则𝑘𝛼也是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量. 性质2 如果 𝛼1 , 𝛼2 都是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量， 则𝛼1 + 𝛼2 (≠ 0)也是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量. • 综上，属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合， 还是属于这个特征值的特征向量

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2、特征值特征向量的求法 Aa=λa 定义2 设A=(a)nxn (λE-A)=0 IE-A (E-A)X=0 1λ-a11 一012 一a1n 一021 λ-022 有非零解 一02m λE-A=0 -ani 一an2 一annl 称为矩阵A的特征多项式

2、特征值特征向量的求法 𝐴𝛼 = 𝜆𝛼 𝜆𝐸 − 𝐴 𝛼 = 0 𝜆𝐸 − 𝐴 𝑋 = 0 有非零解 𝜆𝐸 − 𝐴 = 0 设𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 − 𝑎11 −𝑎21 ⋮ −𝑎𝑛1 −𝑎12 𝜆 − 𝑎22 ⋮ −𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ −𝑎1𝑛 −𝑎2𝑛 ⋮ −𝑎𝑛𝑛 定义2 称为矩阵𝐴的特征多项式

山求濯工大深 计算步豫： 1.计算A的特征多项式几E-A; 2.特征多项式的所有的根，即为矩阵A的所有的特征值.设互不相同 的特征值为1,2，.，几s(S≤n). 3. 对每一个入：(1≤i≤S),求对应的齐次线性方程组（几；E-A)X=0, 其基础解系1,2，.，t即为A的属于特征值入i的线性无关的 特征向量；k1i1+k25i2+.+kt5it(k1,k2,.,kt不全为零) 即为A的属于特征值几：的全部的特征向量；

1. 计算𝐴的特征多项式 𝜆𝐸 − 𝐴 ； 2. 特征多项式的所有的根，即为矩阵𝐴的所有的特征值. 3. 对每一个𝜆𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠)，求对应的齐次线性方程组 𝜆𝑖𝐸 − 𝐴 𝑋 = 0， 计算步骤： 其基础解系 𝜉𝑖1, 𝜉𝑖2, ⋯ , 𝜉𝑖𝑡 即为 𝐴 的属于特征值𝜆𝑖的线性无关的 特征向量； 𝑘1𝜉𝑖1 + 𝑘2𝜉𝑖2 + ⋯ + 𝑘𝑡𝜉𝑖𝑡 (𝑘1 , 𝑘2 , ⋯ , 𝑘𝑡不全为零) 即为 𝐴 的属于特征值𝜆𝑖的全部的特征向量； 设互不相同 的特征值为𝜆1 , 𝜆2 , ⋯ , 𝜆𝑠 𝑠 ≤ 𝑛

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1计算下列矩阵的特征值与特征向量 -1 4 )A= 4 2A= 02 0 204

例1 计算下列矩阵的特征值与特征向量 1) 𝐴 = −1 1 0 −4 3 0 1 0 2 2) 𝐴 = 4 0 2 0 6 0 2 0 4