山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章_9.6 实对称矩阵的标准形

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9.6 实对称矩阵的标准形

G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。实对称矩阵的性质 。主要结论 。正交矩阵的求法 。正交的线性替换

主要内容 实对称矩阵的性质 主要结论 正交矩阵的求法 正交的线性替换

加求翟王大 一、实对称矩阵的性质 引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数

一 、实对称矩阵的性质

G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间Rn上定义一个线 性变换A: AC=Aau,a∈Rn 则A在标准正交基 0 0 八 ,.,n= 0.:0 下的矩阵就是A

山东理工大深 引理2设A是实对称矩阵，A的定义如上， 则对任意的 a,B∈Rn,有 (Aa,β)=(a,Aβ)， (1) 或 BT(Aa)=aTAB. 定义1 欧氏空间中满足等式(1)的线性变换称为对称变换 ·对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵

定义1 欧氏空间中满足等式(1)的线性变换称为对称变换. • 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理3设A是对称变换，V,是A-子空间，则V以也是 A-子空间

加东翟2大深 引理4设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值 的特征向量必正交

的特征向量必正交

山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、主要结论 定理1对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级 正交矩阵T,使TTAT成对角形

二、主要结论

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、正交矩阵的求法 求正交矩阵T的问题就相当于在Rn中求一组由A的特征向量 构成的标准正交基.求正交矩阵T的步骤如下： 1、求出A的特征值.设入1,2，.r是A的全部不同的特征值. 2、对于每个：，求出属于它的线性无关的特征向量，将其 正交单位化，得到属于：的正交单位的特征向量，记为 门i1,门i2,.,门ik

三、正交矩阵的求法 构成的标准正交基

山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3、由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关 因此11，.，1k1.,r1,.,rk,还是正交单位向量组 且k1+k2+.+kr=n. 4、将n11,.,1k1.,门r1,.,门rk,写成列向量构成的矩阵T 即为所求正交矩阵

3、由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关. 即为所求正交矩阵