山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第六章_6.7子空间的直和

归东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.7 子空间的直和

6.7 子空间的直和

G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 0定义 ●直和的充分必要条件 ●直和的性质 ●多个子空间的直和

主要内容 定义 直和的充分必要条件 直和的性质 多个子空间的直和

山求濯工大深 设V=V1+V,则对ξ∈V,都有 年子EE具 明，面平sor卡sV,面平Vox长V好，中9=V亦( V1={(x,y,0)lx,y∈R,V2={(0,y,z)y,z∈R} 那么.对ξ=(1,1,1)∈V,有 ξ=(1,1,1)=(1,2,0)+(0，-1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)

ᵰ= ᵰ+ ᵰ,∈ ᵰ1,ᵰ∈ ᵰ2

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 明，蚌s卡sV,面平ox长V,中9=V武(S V1={(x,y,0)川x,y∈R,2={(0,0,zlz∈R}(0,0,z) 那么对ξ=(x,y,Z)∈V,有=(x,y,0)+(0,0,z) ·子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形

• 子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 定义1设V1,V2是线性空间V的子空间，知果和 V1+V2中每个向量a的分解式 0a=0%1+02, %1∈V1,2∈V2, 是唯一的，这个和就称为直和，记为V1田V2·

一、定义

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、，直和的充分必要条件 定理1和V1十V2是直和的充分必要条件是零向量 的分解式是唯一的.即等式 1+02=0, a1∈V1,2∈V2, 只有在心1,2全为零时才成立 证明 这个条件显然是必要的 下面来证这个条件的充分性

二、直和的充分必要条件 证明 这个条件显然是必要的. 下面来证这个条件的充分性

山求濯工大深 设u∈V1+V2,它有两个分解式 年p+见=卫+买见∈∈见 于是 (里-)+(2-2习=0 其中1-B1∈V1,2-B2∈V2:由定理的条件，有 1-B1=0,2-B2=0,即c1=B1,2=B2 这就是说，向量口的分解式是难一的

ᵰ= ᵰ1 + ᵰ2 = ᵰ1 + ᵰ2,  ᵰ1,ᵰ1 ∈ ᵰ1,ᵰ2,ᵰ2 ∈ ᵰ2 于是 (ᵰ1 − ᵰ1) + (ᵰ2 − ᵰ2) = 0 由定理的条件，有 这就是说，向量 ￾ 的分解式是唯一的

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 推论 和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1nV2={0}. 证明 先证充分性.假设有等式 1+2=0, a1∈V1,a2∈V2, 那么 a1=-a2∈V1nV2. 由假设V1nV2={0},得1=-c2=0. 这就证明了V1+V2是直和

证明 先证充分性. 假设有等式 那么

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 再证必要性.任取向量uEV1∩V2·于是零向量可以表示成 0=a+(-a),a∈V1,-a∈V2: 因为是直和，所以C=一《=0.这就证明了 pn2={0}. 在第六节的倒3中的和就是直和

再证必要性. 于是零向量可以表示成 这就证明了 ᵰ1 ∩ ᵰ2  =  { 0 } . 在第六节的 例3 中的和就是直和

山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3 设V1,V2分别是R3过原点的直线和平 面（直线不在平面上）上的全体向量构成的子空问， 求V1∩V2和V1+V2,并指它们的几何意义. 解由定义容易求得 pn2={0}, 2 az 卫+2=2B)=3. 其几何意义如图6-7所示 图6-7

面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间， 解 由定义容易求得 ᵰ1 ∩ ᵰ2 = { 0 }， 其几何意义如图 6-7 所示 ᵰ1 + ᵰ2 = ᵰ(ᵰ1 ,ᵰ2 ,ᵰ3 ) = ᵰ 3