山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章_7.5对角矩阵

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.5 对角矩阵

7.5 对 角 矩 阵

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、 矩阵A可对角化的条件 如果一个矩阵可以相似于一个对角矩阵，则称它可对角化： 定理1n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无 关的特征向量. 定理2设A是n维线性空间V的一个线性变换，凡在某一 组基下的矩阵可以为对角矩阵的充分必要条件是，凡有个 线性无关的特征向量

如果一个矩阵可以相似于一个对角矩阵，则称它可对角化. 线性无关的特征向量

山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、特征值与特征向量的性质 定理3 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 推论1如果在n维线性空问V中，线性变换几的特征多 项式在数域P中有n个不同的根，即凡有n个不同的特征 值，那么.凡在某组基下的矩阵是对角形的，（逆命题不成立） 推论2在复数域上的线性空间中，如果线性变换凡的特 征项式没有重根，那么，凡在某组基下的矩阵是对角形的

二、特征值与特征向量的性质 定理3 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. (逆命题不成立)

山求濯工大深 定理4如果入1，入2，.，入k是线性变换凡的不同的特征值，而 xi1,.,r:是属于特征值入i的线性无关的特征向量，i=1,k 那么向量组11，.11，.，k1,.,QkTk也线性无关. 根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值 的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的， 如果它们的个数等于空问的维数，那么，这个线性变换在一 组合适的基下的矩阵是对角矩阵；

• 根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值 的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的. • 如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一 组合适的基下的矩阵是对角矩阵；

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 如果它们的个数少于空间的维数，那么，这个线性变换在任何 一组基下的矩阵都不能是对角形的.于是凡在某一组基下 的矩阵是对角形的充分必要条件也可叔述成： 定理5设几全部不同的特征值是几1，几2，.，几，于是A在 某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条件是凡的特征子 空间吃.，的维数之和等于空间的维数

如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何 一组基下的矩阵都不能是对角形的. 的矩阵是对角形的充分必要条件也可叙述成：

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1 设线性变换几在基E1,E2,E3下的矩阵为 2 00 A- 2-1 1 0 1 问是否存在一组基，使凡在这组基下的矩阵为对角形？ 若存在，求出这组基

若存在，求出这组基

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2矩阵A= 是否可对角化？ ·矩阵是否可对角化与所讨论的数域有关 创3若A=(3g),求A00

• 矩阵是否可对角化与所讨论的数域有关

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4 己知A的特征值是几1=0，几2=1，入3=3，对应的特征向 量为 w=0-日)=( 求矩阵A

山求理子大军 HANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 创5设A在基e1,E2,E3下的矩阵为 3 -2 A= 3 -2 2 -2 33 1)求A在基η1=E1+2E2+E3,门2=2e1+3E2+e3,73=3 下的矩阵. 2)求凡的特征值和特征向量. 3)求一可逆矩阵T,使T-1BT成为对角矩阵

下的矩阵