山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章_7.6线性变换的值域与核

加东翟王大深 7.6 线性变换的值域与 核

7.6 线性变换的值域与 核

山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义1设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像 组成的集合称为A的值域，用AV表示 AV={Aξ|ξ∈V}, 所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核 用A-1(0)表示 A-1(0)={ξ∈V|Aξ=0}

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质 线性变换的值域与核都是V的子空间. AV的维数称为几的秩，A-1(0)的维数称为A的零度 例1在线性空间P[x]n中，令 0=的. 则D的值域为P[x]n-1，D的核为子空间P. 例2零变换O的值域是{0}，核是V 例3可逆变换A,值域AV=V,核A-1(O)={0}

ᵉ(ᵉ(ᵉ)) = ᵉ′ (ᵉ) 

山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1设A是n维线性空间V的线性变换.则AV的一组 基的原像及凡-1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此 几的秩+A的零度=n, 推论对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必 要条件为它是满射. ·虽然子空间AV与几-1(0)的维数之和为n,但是 AV+A-1(0)并不是整个空问

由此 推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必 要条件为它是满射

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理2设凡是n维线性空间V的线性变换，e1,2,.,en 是V的一组基，凡在这组基下的矩阵是A,则 1)A的值域AV是由基像组生成的子空间，即 AV=L(AE,Ae2,.,Aen). 2)A的秩=A的秩

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4设E1,E2,E3,4是4维线性空间V的一组基，己知线性变 换A在这组基下的矩阵是 0 2 1 A= 一 2 22 1 2 352 求凡的值域与核

山求翟2大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例5令 A(x1,x2,x3)=(0,x3,0) 则A是P3的一个线性变换，求AP3与A-1(0)的维数和基

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例6 设A是一个n×n矩阵，A2=A.证明 A相似于一个对角矩阵 B=

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例7 设线性变换A在三维线性空间V的一组基e1,E2,3 下的矩阵是 /1 2 (1)求A在基η1=2E1+e2+3E3,门2=E1+E2+23, 门3=一E1十E2+E3下的矩阵. (2)求A的值域AV和核A-1(0);

下的矩阵是

归求理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (3)把凡V的基扩充为V的基，并求A在这组基下的矩阵； (4)把A-1(0)的基扩充为V的基，并求A在组基下的矩阵；