山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章_9.1 定义与基本性质

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.1定义与基本性质

9.1 定义与基本性质

加素理2大名 主要内容 内积 长度 夹角 ®度量矩阵

主要内容 内积 长度 度量矩阵 夹角

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、内积 1.定义 定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二 元实函数，如果它具有以下性质，则称为内积，记作(，B): 1)对称性 (x,B)=(β，a); 2)线性性 (ka,B)=k(a,B); 3)线性性 (a+β，Y)=(a,Y)+(β，y) 4)正定性 (a,x)≥0，当且仅当&=0时(x,c)=0

一、内积 1. 定义

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 这里C,B,Y是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性 空间V称为欧几里得空间，简称为欧氏空间. ·在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的. ·几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间

• 在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的. • 几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在线性空间Rm中，对于向量 年（见，2，.，日，年（日，2，.，日， 定义内积 (a,β)=a1b1+a2b2+.+anbn. (1) 显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，R”就成为一个 欧几里得空间.以后仍用R”来表示这个欧几里得空间. ·在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角 坐标系中的坐标表达式

ᵰ= (ᵰ1 , ᵰ2 ,  ⋯ , ᵰᵰ ) , ᵰ= (ᵰ1 , ᵰ2 ,  ⋯ , ᵰᵰ ) , 定义内积 欧几里得空间. 坐标系中的坐标表达式

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2在闭区间[，b]上的所有实连续函数所成的空间 C[a,b]中，对于函数f(x),g(x)定义内积 (f(x).g(x))=Jf(x)g(x)dx (2) 由定积分的性质不难证明，对于内积(2)，C[a,b]构成一个 欧几里得空间. 同样地，线性空间R[x],R[x]n对于内积(2)也构成欧几里 得空间

欧几里得空间. 得空间

山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 剑3在R2中，=(a1,a2),B=(b1,b2),定义 (,B)=5a1b1+2a1b2+2a2b1+a2b2 验证(，B)构成了一个内积

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3. 欧几里得空间的性质 下面来看欧几里得空间的一些基本性质. 首先，定义中条件1)表明内积是对称的.因此，与2)、3) 相当地就有 2)(a,kB)=(kβ，)=k(B,a)=k(a,B)i 3)(&,B+y)=(B+Y,)=(B,)+(y,) =(a,β)+(a,Y)

3. 欧几里得空间的性质 下面来看欧几里得空间的一些基本性质. 首先，定义中条件1)表明内积是对称的. 因此，与2)、3) 相当地就有

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、长度 1.定义 定义2非负实数V(心，)称为向量的长度，记为|a|. ·向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零 2.单位向量 长度为1的向量称为单位向量. 如果a≠0则由k个=klal知，向量司a是一个革位句量 通常称为把口单位化

二、长度 1. 定义 • 向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零. 2. 单位向量 长度为 1 的向量称为单位向量. 通常称为把 ￾ 单位化

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3. 性质 性质1设k∈R,a∈V,则有 Ika=klal. (3) 性质2 柯西一布涅柯夫斯基不等式 设心，B是任意两个向量，则 I(a,B)川≤lal181, (4) 当且仅当心，B线性相关时，等号才成立

3. 性质 性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式