山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）7.3线性变换的矩阵

加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.3 线性变换的矩阵

7.3 线性变换的矩阵

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 线性变换、基与基的像 线性变换的矩阵 向量像的计算公式 线性变换在不同基下矩阵的关系 相似矩阵

主要内容 线性变换、基与基的像 线性变换的矩阵 向量像的计算公式 线性变换在不同基下矩阵的关系 相似矩阵

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、线性变换、基与基的像 设V是数域P上n维线性空间，c1,e2,.,en是V的一组基 空间V中任一向量可以被基e1,e2,.,en线性表出，即有 年中印+22+.+日 (1) 设A是V上的线性变换，则 年印+现+.+母 (2) 上式表明，如果我们知道了基口1，口2，.，口n的像，那 在缕问中任意一个向量口的像也就知道了

一、线性变换、基与基的像 ᵰ= ᵰ1ᵰ1 + ᵰ2ᵰ2 + ⋯ + ᵰᵰ                      (1) ᵰ= ᵰ1ᵰ1 + ᵰ2ᵰ2 + ⋯ + ᵰᵰ         (2) 上式表明，如果我们知道了基 ￾ 1 , ￾ 2 , . , ￾ n 的像，那 么线性空间中任意一个向量 ￾ 的像也就知道了

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 结论1设e1,e2,.,en是线性空间V的一组基.如果线性变 换A与B在这组基上的作用相同，即 EB日年1,2，.，4 那么A=B. 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上 的作用所决定.下面我们进一步指出，基向量的像却可 以是任意的

ᵰᵰ= ℬᵰᵰ,       ᵰ= 1, 2,  ⋯ , ᵰ , • 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上 的作用所决定. 下面我们进一步指出，基向量的像却可 以是任意的

加求翟王大 结论2设e1,e2,.,en是线性空间V的一组基.对于任意 组向量1,42，.，an一定有一个线性变换A使 年1,2，.，0 (3) 定理1设e1,e2,.,en是线性空间V的一组基，41,2，.，Cn 是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使 庄日1,2，.，日

ᵰᵰ= ᵰᵰ,       ᵰ= 1, 2,  ⋯ , ᵰ .             (3) ᵰᵰ= ᵰᵰ,       ᵰ= 1, 2,  ⋯ , ᵰ 

山东理子大多 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、线性变换的矩阵 1.定义 定义1设e1,2,.,en是数域P上n维线性空间V的一组基 凡是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： AE a1181+a2182++aniEn A82=a1281+a2282+.+an2En AEn ain1+aznE2+.+annEn

二、线性变换的矩阵 1. 定义 基向量的像可以被基线性表出：

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 用矩阵来表示就是 地.= (围.月=（招.P口 (5 其中 011 C12 . ain A= 021 022 02n ani an2 ann 矩阵A称为A在基e1,e2,.,en下的矩阵

用矩阵来表示就是 ᵰ(ᵰ1,ᵰ2, ⋯ ,ᵰᵰ)  = (ᵰ1,ᵰ2,⋯ ,ᵰᵰ)) = ( ᵰ1,ᵰ2, ⋯ ,ᵰᵰ)  ᵰ 其中 (5)

山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在P3中， 求下列变换在基 e1=(1,0,0),2=(0,1,0),e3=(0,0,1) 下的矩阵 1)A(x1,X2,x3)=(x1+x2,x2+X3,X3+X1) 2)A(x1,x2,x3)=(0,x1+x2+x3,0)

下的矩阵

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2 在P2x2中，定义线性变换 Ax)=()x X∈P2x2 求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵. 例3 零变换O在任意一组基下的矩阵是零矩阵O; 单位变换￡在任意一组基下的矩阵是单位矩阵E; 数乘变换K在任意一组基下的矩阵是数量矩阵kE;

山东理子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 由坐标的唯一性，取定一组基1，e2,.,en后，线性变换A 在这组基下的矩阵是唯一的，设为A,即有 8.月=（®.月口 可以建立映射 L(V)→pnxn G 结论2说明这个映射是满射，结论1说明这个映射是单射

ᵰ(ᵰ1,ᵰ2, ⋯ ,ᵰᵰ)  = (ᵰ1,ᵰ2, ⋯ ,ᵰᵰ) ᵰ 可以建立映射 ᵰ ↦   ᵰ 结论2说明这个映射是满射，结论1说明这个映射是单射