山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）6.2 线性空间的定义与简单性质

加素理2大名 6.2 线性空间的定义 与简单性质

6.2 线性空间的定义 与简单性质

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 定义1设V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的 元素之间定义了一种代数运算，叫做加法：这就是说，给 出了一个法则，对于V中任意两个元素与B,在V中都 有难一的一个元素y与它们对应，称为与B的和，记为 Y=a+B

一、定义 定义 1 设 𝑉 是一个非空集合 , 𝑃 是一个数域.在集合 𝑉 的 元素之间定义了一种代数运算，叫做加法：这就是说，给 出了一个法则，对于 𝑉 中任意两个元素  与  ，在 𝑉中都 有唯一的一个元素 与它们对应，称为  与  的和，记为  =  + 

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量 乘法：这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素0， 在V中都有唯一的一个元素6与它们对应，称为k与的数 量乘积，记作6=k,如果加法与数量乘法满足下述规则，那 么V称为数域P上的线性空间

在数域 𝑃 与集合 𝑉 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量 乘法：这就是说，对于数域 𝑃 中任一数 𝑘 与𝑉 中任一元素  ， 在 𝑉 中都有唯一的一个元素  与它们对应，称为 𝑘 与  的数 量乘积，记作𝛿 = 𝑘𝛼 . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那 么 𝑉 称为数域 𝑃 上的线性空间

山求理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 加法满足下面四条规则： 1)a+B=B+a; 2)(a+B)+y=a+(B+y); 3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有 +0=0（具有这个性质的元素0称为V的零元素)； 4)对于V中每一个元素0，都有V中的元素B,使得 a+B=0(B称为a的负元素)

加法满足下面四条规则： 1)  +  =  +  ； 2) ( +  ) +  =  + ( +  )； 3) 在 𝑉 中有一个元素 0，对于 𝑉 中任一元素 都有  + 0 =  (具有这个性质的元素 0 称为 𝑉 的零元素) ； 4) 对于 𝑉 中每一个元素  ，都有 𝑉 中的元素 ，使得  +  = 0 ( 称为 的负元素)

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 数量乘法满足下面两条规则： 5)1a=a; 6)k(la)=(kl)a. 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7)(k+l)a=ka+la; 8)k(a+B)=ka+kB

数量乘法满足下面两条规则： 5) 1  =  ； 6) 𝑘( 𝑙 ) = ( 𝑘𝑙 ) . 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ( 𝑘 + 𝑙 ) = 𝑘 + 𝑙 ; 8) 𝑘( +  ) = 𝑘 + 𝑘

山东濯2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1分量属于数域P的全体元数组构成数域P上的一个线性 空间，这个线性空间我们用P来表示

例1 分量属于数域 𝑃 的全体 𝑛元数组构成数域 𝑃 上的一个线性 空间，这个线性空间我们用 𝑃𝑛 来表示

加东翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2闭区间[a,b]上全体连续函数构成R上线性空间，记作C[a,b]

例2 闭区间[𝑎, 𝑏]上全体连续函数构成ℝ上线性空间，记作𝐶 𝑎, 𝑏

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3 数域P上一元多项式环P[X],按通常的多项式如法 和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间

例 3 数域 𝑃 上一元多项式环 𝑃[ 𝑥 ]，按通常的多项式加法 和数与多项式的乘法，构成一个数域𝑃 上的线性空间

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4次数小于的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用P[x]n表示

例4 次数小于 𝑛 的多项式，再添上零多项式也构成数域 𝑃 上的一个线性空间，用 𝑃[ 𝑥 ]𝑛 表示

山东理王大多 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例5 元素属于数域P的mX几矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的 数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pmxn表示

例 5 元素属于数域𝑃的𝑚 × 𝑛矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的 数量乘法，构成数域𝑃上的一个线性空间，用𝑃 𝑚×𝑛表示