山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）5.4正定二次型

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY §5.4正定二次型

加东翟2大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义5.6设f(x,x2,.,xn)是一个实二次型。如果对任意一 组不全为零的实数G,C2,Cn,恒有f(x,2,.,x)>0,那么二 次型f(x,x2,.,xn)称为正定的

定义5.6 设 是一个实二次型。如果对任意一 组不全为零的实数 ，恒有 ，那么二 次型 称为正定的。 1 2 ( , , , ) n f x x x 1 2 , , , n c c c 1 2 ( , , , ) 0 n f x x x  1 2 ( , , , ) n f x x x

G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 几个典型例子 1.f(x,x2,.,xn)=x2+x号+.+x 2.f(x,x2,.,xn)=x2+x+.+x(r<n） 3.f(x1,x2,.,n) =+.+x2-x21-.x(I≤p<)

几个典型例子 2 2 2 1 2 1 2 1. ( , , , ) n n f x x x x x x = + + + 2 2 2 1 2 1 2 2. ( , , , ) ( ) n r f x x x x x x r n = + + +  1 2 2 2 2 2 1 1 3. ( , , , ) (1 ) n p p r f x x x x x x x p r = + + − −   +

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 注：实二次型 f(x,x2,.,xn)=dx2+d2x+.+dnx 是正定的，当且仅当d>0,i=1,2,.,n

注：实二次型 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + 是正定的，当且仅当 0, 1,2, , i d i n  =

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 正定二次型 非退化实线性替换保持正定性 fx,x,.,x,)=∑∑0x,ay=a 经过非退化线性替换 X=CY 得到的二次型 g0yy2,y)=∑∑b,yy,b,=b i=1j=1 仍然是正定二次型。（证明见教材)

正定二次型 经过非退化线性替换 得到的二次型 仍然是正定二次型。（证明见教材） 1 2 1 1 ( , , , ) , n n n ij i j ij ji i j f x x x a x x a a = = = =   X CY = 1 2 1 1 ( , , , ) , n n n ij i j ij ji i j g y y y b y y b b = = = =   非 退 化 实 线 性 替 换 保 持 正 定 性

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理6n元实二次型 f(x1,X2,.,Xn) 是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n。 注：正定二次型f(X1,x2,.,xn)的规范形为 y+y3+.+y

定理6 n元实二次型 是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n。 1 2 ( , , , ) n f x x x 注：正定二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 的规范形为 2 2 2 1 2 n y y y + + +

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY f(x1,x2,.,Xn) x=c"→g(4,y2,.,yn）=dy+.+d,y f(x1,x2,.,xn)正定台g(y1,y2,.,yn)正定 →d,>0,i=1,2,.,n→正惯性指数等于n

1 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) ( , , , ) n X CY n n n f x x x g y y y d y d y ⎯⎯⎯→ = + + = 1 2 ( , , , ) n f x x x 正定 1 2 ( , , , )  g y y yn 正定 0, 1,2, ,   =  d i n i 正惯性指数等于n

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义实对称矩阵A称为正定的，如果二次型 XAX正定。 因为二次型y++.+y的矩阵是单位矩阵， 所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位 矩阵合同

定义 实对称矩阵 称为正定的，如果二次型 正定。 A ' X AX 因为二次型 的矩阵是单位矩阵， 所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位 矩阵合同。 2 2 2 1 2 n y y y + + +

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 推论正定矩阵的行列式大于零 证明设A是一个正定矩阵，因为A与单位矩阵合同， 所以有可逆矩阵C使 A-CEC=CC 两边取行列式有 |AHC IIC曰CP>0

推论 正定矩阵的行列式大于零 证明 设 是一个正定矩阵，因为 与单位矩阵合同， 所以有可逆矩阵 使 A A C ' ' A C EC C C = = 两边取行列式有 ' 2 | | | || | | | 0 A C C C = = 

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的 定义子式 d12 021 d22 azi P= ,(i=1,2,.,n) an a:2 a 称为矩阵A=(a)m的顺序主子式

直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的 定义 子式 11 12 1 21 22 2 1 2 , ( 1, 2, , ) i i i i i ii a a a a a a P i n a a a = = 称为矩阵 A a = ( )ij mn 的顺序主子式