《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3矩阵相似

§5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结

§5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、 三

一、方阵相似 1.定义：设n阶方阵A,B,如果存在可逆方阵P,使得 P-AP=B 则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似 运算P-1AP称为对A进行相似变换.可逆矩阵P称为 把A变成B的相似变换矩阵. 说明： (1)矩阵相似与等价的关系：矩阵相似一定等价，但 等价不一定相似

一、方阵相似 1.定义 :设n阶方阵A, B,如果存在可逆方阵 P,使得 P AP  B 1 则称B是A的相似矩阵,或称矩阵A与B相似. . . 1 把 变成 的相似变换矩阵 运算 称为对 进行相似变换 可逆矩阵 称为 A B P AP A P  说明: . (1) : , 等价不一定相似 矩阵相似与等价的关系 矩阵相似一定等价 但

作为等价关系具有如下性质 (①)自反性A与A本身相似； ()对称性A与B相似，则B与A相似； ()传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似. (2)P-(A4)P=(P-AP)(P-AP). (3)若A与B相似，则Am与B"相似m为正整数) (4)P(k A+kA)P=kP-AP+kPAP

作为等价关系具有如下性质 1 1 1 1 2 1 2 (2) P (A A )P (P A P)(P A P).     (3) 若A与B相似,则A 与B 相似m为正整数. m m 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 (4) P (k A k A )P k P A P k P A P       (iii)传递性 A与B相似,B与C相似,则A与C相似. (i)自反性 A与A本身相似； (ii)对称性 A与B相似,则B与A相似；

定理5.3.1若阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同. 证明A与B相似→可逆阵P,使得P-AP=B ∴.B-E=P-AP-p-(aE)P P-(A-RE)P=P-IA-AE P =A-2E. 说明： 两个方阵A,B相似，不但具有相同的特征值和特征 多项式，而且有相同的行列式，相同的秩，相同的迹

证明 1 A B P, P AP B   与 相似 可逆阵 使得  B E P AP P EP 1 1      P A  EP 1  P A  E P 1  A  E . 5.3.1 , , . n A B A B A B 若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项 式相同 从而 与 的特征值 定 亦相同 理 说明: , , , . , , 多项式 而且有相同的行列式 相同的秩 相同的迹 两个方阵A B相似 不但具有相同的特征值和特征

例题1：若矩阵A= 相似，求x,y: 解：利用相似矩阵的迹相等和行列式的值相等，得 22+x=1+4 22x-31y=4-6 解得x=-17,y=-12

解：利用相似矩阵的迹相等和行列式的值相等,得 22 1 4 22 31 4 6 x x y          解得x  17, y  12 , , . 3 4 22 31 1 2 1: B x y y x 例题 若矩阵A 与 相似 求             

注意：上述定理的逆命题不成立，即两矩阵的行列 式，迹，秩，特征多项式，特征值相同，两矩阵不一定 相似. 推论1若阶方阵与对角阵△= 相似，则2,22，.，2即是A的个特征值. 一般地，方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化

1 2 1 2 , 1 , , , . n n n A n                 推 若 阶方阵与对角阵 相似 则 即是 的 个特征值 论 一般地,方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化. . , , , , , : , 相似 式 迹 秩 特征多项式 特征值相同 两矩阵不一定 注意 上述定理的逆命题不成 立 即两矩阵的行列

二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵A可对角化的充要条件是A有 个线性无关的特征向量. 证明假设存在可逆阵P,使PAP=人为对角阵， 把P用其列向量表示为P=[p1,P2,.,Pn]. 由P-1AP=A,得AP=PA, 即AA,P]=[B,p.] m =[2P1,2p2,.,nPn]

证明 1 P, P AP ,  假设存在可逆阵 使  为对角阵 1 2 , , , . P P n   p p p  把 用其列向量表示为    . 5.3.2 n A A n 阶方阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特 定 征向量 理 二、方阵可对角化的条件 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p                       即 1 1 2 2 , , , . n n   p  p  p     , , 1      由P AP 得AP P

∴.A[p,P2,.,Pn]=[Ap1,Ap2,.,Apn] =[2p1,2P2,.,元nPn] 于是有p,=p:(i=1,2,.,m). 可见九，是A的特征值，而P的列向量p,就是 A的对应于特征值2，的特征向量. 又由于P可逆，所以P1,P2,.,Pn线性无关. 反之，由于A恰好有n个线性无关的特征向量，这n 个特征向量即可构成可逆矩阵P,使PAP=∧

1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , n n n n A p p p Ap Ap Ap  p  p  p                   ( 1,2, , ). A i i i 于是有 p   p i   n , . i i i A P p A   可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 的对应于特征值 的特征向量 1 2 , , , , . P n 又由于 可逆 所以p p  p 线性无关 1 , , , . A n n P P AP    反之 由于 恰好有 个线性无关的特征向量 这 个特征向量即可构成可逆矩阵 使

注意（由上述定理内容及证明可得到： (I)一个n阶方阵A是否可对角化归结为它是否有n个线 性无关的特征向量. (2)如果阶方阵A与对角矩阵A相似，则对角矩阵主对 角线上的元素就是A的特征值， (3)存在的可逆矩阵P的列向量恰好是该矩阵的n个线性 无关的特征向量， (4)可逆矩阵的列向量的排列顺序与对角阵的主对角线 上的元素的排列顺序一致，并且都不唯一

, . (4) 上的元素的排列顺序一致 并且都不唯一 可逆矩阵的列向量的排列顺序与对角阵的主对角线 . (3) 无关的特征向量 存在的可逆矩阵P的列向量恰好是该矩阵的n个线性 . (2) , 角线上的元素就是 的特征值 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似 则对角矩阵主对 A n A  注意(由上述定理内容及证明可得到): . (1) 性无关的特征向量 一个n阶方阵A是否可对角化归结为它 是否有n个线

例1判断下列方阵能否对角化 -110 「-2 11 (3) 0 20 4 13 分析：由上述定理可知要判断一个矩阵A是否可对 角化，只需要判断方阵是否有n个线性无关的特征 向量，只需要求出方阵的所有特征值和特征向量

1 1 1 0 2 1 1 3 1 (1) (2) 4 3 0 (3) 0 2 0 1 3 1 0 2 4 1 3                             例 判断下列方阵能否对角化 分析：由上述定理可知要判断一个矩阵A是否可对 角化，只需要判断方阵是否有n个线性无关的特征 向量，只需要求出方阵的所有特征值和特征向量