《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 第三节 相松矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 第三节 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 、 相似矩阵与相似变换的概念 定义5.3.1设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P, 使P1AP=B成立，则称B是A的相似矩阵，或说矩 阵A与B相似. 对A进行运算PAP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 1 , , , , , . 5.3.1 A B n P P AP B B A A B − = 设 都是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 成立 则称 是 的 或说矩 阵 与 相似矩阵 定 相似 义 一、相似矩阵与相似变换的概念 1 , . A P AP A P A B 对 进行运算 − 称为对 进行 可逆矩阵 称为把 变成 相似变换 的相似变换矩阵

第五章相似矩阵与二次型 相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 ()自反性A与A本身相似； (2)对称性A与B相似，则B与A相似； 3)传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似

第五章 相似矩阵与二次型 1. 等价关系 相似矩阵与相似变换的性质 (1)自反性 A与A本身相似； (2)对称性 A与B相似，则B与A相似； (3)传递性 A与B相似，B与C相似，则A与C相似

第五章相似矩阵与二次型 定理5.3.1若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同. 证明A与B相似→可逆阵P,使得PAP=B B-AE=P-AP-P-(E)P =P-(A-AE)P P-A-AE P =A-E. 注意：上述定理的逆命题不成立

第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 A B P P AP B , 与 相似  = 可逆阵 使得 − B E P AP P (E)P −1 −1  − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . 5.3.1 , , . n A B A B A B 若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项 式相同 从而 与 的特征值 定 亦相同 理 注意：上述定理的逆命题不成立

第五章相似矩阵与二次型 推论1若n阶方阵与对角阵△= 2 相似，则2,22，2即是A的个特征值， 方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化. 推论2若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B)

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , 1 , , , . n n n A n            =         推 若 阶方阵与对角阵 相似 则 即是 的 个特征值 论 推论2 若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B). 方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化

第五章相似矩阵与二次型 二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵A可对角化的充要条件是A有 个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P,使P-AP=人为对角阵， 把P用其列向量表示为P=[p,P2,.,Pn] 由P1AP=A,得AP=PA, 即A[p,P2,P]=[PP2,.,P =「2P,2P2,nPn]

第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 P P AP , , − 假设存在可逆阵 使 = 为对角阵 1 2 , , , . P P p p p = n   把 用其列向量表示为   . 5.3.2 n A A n 阶方阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特 定 征向量 理 二、方阵可对角化的条件 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p              =          即 1 1 2 2 , , , . n n =      p p p   , , 1 =  =  − 由P AP 得AP P

第五章相似矩阵与二次型 A[p,P2,.,pn]=[Ap1,p2,.,pn] =[2p,p2,.,2Pn] 于是有Ap,=P,(i=1,2,.,) 可见2是A的特征值，而P的列向量p,就是 A的对应于特征值2的特征向量， 又由于P可逆，所以1，P2,.,pn线性无关 反之，由于A恰好有个线性无关的特征向量，这n 个特征向量即可构成可逆矩阵P,使PAP=人

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , n n n n A p p p Ap Ap Ap    p p p  =         =     ( 1,2, , ). 于是有 Ap p i n i i i = =  , . i i i A P p A   可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 的对应于特征值 的特征向量 1 2 , , , , . 又由于P p p p 可逆 所以 n 线性无关 1 , , , . A n n P P AP − =  反之 由于 恰好有 个线性无关的特征向量 这 个特征向量即可构成可逆矩阵 使

第五章相似矩阵与二次型 注意：由上述定理可推出： 1.一个n阶方阵是否可对角化归结为它是否有n个线 性无关的特征向量； 2.如果n阶方阵A与对角阵相似，则对角阵主对角线 上的元素就是的特征值. 推论：一个n阶矩阵A有n个互不相同的特征值， 则矩阵A可对角化

第五章 相似矩阵与二次型 注意：由上述定理可推出： 1.一个n阶方阵是否可对角化归结为它是否有n个线 性无关的特征向量; 2.如果n阶方阵A与对角阵相似，则对角阵主对角线 上的元素就是的特征值. A A 推论：一个n阶矩阵 有n个互不相同的特征值， 则矩阵 可对角化

第五章相似矩阵与二次型 例1判断下列方阵能否对角化 -1 1 -2 1 1 oo -43 0 (3) 0 2 0 102 -4 13

第五章 相似矩阵与二次型 1 1 1 0 2 1 1 3 1 (1) (2) 4 3 0 (3) 0 2 0 1 3 1 0 2 4 1 3     − −   −     −         −         − 例 判断下列方阵能否对角化

第五章相似矩阵与二次型 )求方阵A= 的特征值和特征向量 -1 3 解：A的特征多项式为 M-证3 =(4-兄)(2-2) →A的特征值为2=2，入=4 方阵有2个不同的特征值，所以A可以对角化

第五章 相似矩阵与二次型    − − − − − = 1 3 3 1 A E 3 1 (1) 1 3 A   − =     − 求方阵 的特征值和特征向量 = (4 − )(2 − ) 1 2  = = A的特征值为  2, 4 解：A的特征多项式为 方阵有2个不同的特征值，所以A可以对角化