《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算_3-4 分块矩阵

线性代数 山东理工大学

线性代数 山东理工大学

第3章矩阵的运算 §3.4分块矩阵 ·分块矩阵的定义 。分块矩阵的运算规律

§3.4 分块矩阵 第3章 矩阵的运算 ● 分块矩阵的定义 ● 分块矩阵的运算规律

1.分块矩阵的定义 对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算，经 常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算 具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许 多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 例： 0 10 a100 0 0 0 a00 A= B2 ,A= 10 B3 0 1 b BBB 0 11 b 011 b

对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经 常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算 1.分块矩阵的定义 , 3 2 1           = B B B               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例：               A = a 1 0 0 b a 0 1 1 0 0 0 0 1 1 b           = B1 B2 B3 具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许 多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

0 0 0 0 0 A= 0 E 0 1 1 b L 1 0 0 0 L 0 0 A= 1 =(44,44): 0 b 1 1 1 b

1 2 , A O E A   =     = ( A A A A 1 2 3 4 ).               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0

2.分块矩阵的运算规则 (1)设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用 相同的分块法，有 A L A- M M B= M M A B 其中A,与B的行数相同，列数相同，那么 Au+Bu L A,+B1, 4+B M M As+Bs L Asr+By

( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , , , 其中A B ij ij 与 的行数相同 列数相同 那么 11 11 1 1 1 1 . r r s s sr sr A B A B A B A B A B   + +   + =       + + L M M L 11 1 11 1 1 1 , r r s sr s sr A A B B A B A A B B         = =             L L M M M M L L 2.分块矩阵的运算规则

(2)设A= M M,2为数，那么 A L A AAu L 2A, λA= M M 2AL几A

( ) 11 1 1 2 , , r s sr A A A A A      =       设 为数 那么 L M M L 11 1 1 . r s sr A A A A A          =       L M M L

(3)设A为m×矩阵B为l×矩阵，分块成 Au L A A= M M,B= M M A L A. B L B 其中A,A2,L,A的列数分别等于B,B2j,L,B, 的行数，那么 Cu L AB= M M C1 L C 其中C,=∑A4uB, (i=1,L,sj=1,L,r) -1

(3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 11 1 11 1 1 1 , , t r s st t tr A A B B A B A A B B         = =             L L M M M M L L 1 2 1 2 , , , , , , , 其中A A A B B B i i it j j ij 的列数分别等于 的行数 那么 L L 11 1 1 r s sr C C AB C C     =       L M M L ( ) 1 1, , ; 1, , . t ij ik kj k C A B i s j r = 其中 = = =  L L

Au L A L A (4)设A= M 则- M M M A L A AT L AT (5)设A为阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都 是方阵即 A= A A、 其中A(i=1,2,LS)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵

( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A 1 2 , s A A A A       =       O ( ) 11 4 , sr A A A     =       L M M L 设 A1r As1 11 . T T T sr A A A     =       L M M L 则 1 T A s 1 T A r ( 1,2, , . ) 其中 A i s A i = L 都是方阵 那么称 为分块对角矩阵

分块对角矩阵的行列式具有下述性质： A= (1).4=44L4 (2).若4≠0(i=1,2,L,s),则A≠0，并有 A-L A A 0B, L 0) AB 0 0 A L 0 0 B L 0 0 AB,L 0 (3). L L L L L L L L L L 0 0 L A 0 0 L B 0 0 L AB

分块对角矩阵的行列式具有下述性质: (2) 0 1,2, , , 0, ( ) . 若 A i s A i  =  L 则 并有 −1 −1 −1 −1 1 2 . s A A A A       =       O 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (3). 0 0 0 0 s s A B A B A B                         L L L L L L L L L L L L L L 1 1 2 2 0 0 0 0 . 0 0 s s A B A B A B       =       L L L L L L L 1 2 (1). . A A A A = L s 1 2 s A A A A       =       O

5 00 例1：设A= 0 3 1 求A 02 1 50 A1=(5), 解：A= 4=80-2 0 0 e- 50 1 -1 0 -2 3

例1：设 , 0 2 1 0 3 1 5 0 0           A = . −1 求 A 解：           = 0 2 1 0 3 1 5 0 0 A , 2 1       = O A A O (5), A1 = ; 5 1 1 1       = − A , 2 1 3 1 2       A = ; 2 3 1 1 1 2       − − = − A          = − − − 1 2 1 1 1 O A A O A . 0 2 3 0 1 1 0 0 5 1               − = −