《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第四章 线性方程组_4-3 非齐次线性方程组

线性代数 山东理工大学

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第4章线性方程组 §4.3非齐次线性方程组

§4.3 非齐次线性方程组 第4章 线性方程组

设n元非齐次线性方程组为 011X1 十 L12X2 +L + AinXn = b 21X1 十 L22X2 +L A2nXn = (1) M M M MMM M M M m火1 +L 011 0%12 L 021 02 L 则称矩阵A= A2n 为方程组()的系数矩阵 M M M M Am L

设n元非齐次线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  L L M M M M M M M M M L 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         L L M M M M L 为方程组(1)的系数矩阵

X= 马M b= M 则非齐次线性方程组(1)的矩阵形式 Ax=b (2) 当b=0(位=1,2，L,m)时，对应的齐次线性方程组 011X1+412X2+L+41mXn 0 21X1 az2x2+L aznxn M M M MMM M MM(3) 4mIX1 + 0m2X2 + L+ 0

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (3) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =    + + + =  L L M M M M M M M M M L 令 1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b         = =                 M M 则非齐次线性方程组(1)的矩阵形式 Ax b = (2) 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = L 时, 对应的齐次线性方程组

则齐次线性方程组(3)与矩阵方程 Ax=0 (4) 等价。 1.有解的条件 定理3：非齐次线性方程组Ax=b有解 台R(A)=R(A) 并且，当R(A)=R(A=n时，有唯一解； 当R(A)=R(A<n时，有无穷多解

则齐次线性方程组(3)与矩阵方程 Ax O= (4) 等价。 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 Ax b = 有解  = R A R A ( ) ( ) 并且，当 R A R A n ( ) = = ( ) 时，有唯一解； 当 R A R A n ( ) =  ( ) 时，有无穷多解

2.解的性质 性质1：71,72是Ax=b的解，则71-72是 对应的齐次线性方程组Ax=O的解。 设71,72是Ax=b的解，则 A71=b,A72=b. →A(71-72)=An1-A72=b-b=0. .71-7,是Ax=O的解

2. 解的性质 Ax O= 性质1：  1 2 , 是 Ax b = 的解，则   1 2 − 是 对应的齐次线性方程组 的解。 1 2  − A( )   1 A b  = , 1 2 设  , 是 Ax b = 的解，则 2 A b  = . = − A A   1 2= −b b = O.  − =   1 2是Ax O的解

性质2：设x=n是Ax=b的解，x=5是对应的齐 次线性方程组Ax=O的解，则x=5+7 是Ax=b的解。 证明：由x=7是Ax=b的解，x=5是对应的齐 次线性方程组Ax=O的解，得： An=b,A5=0. →A(n+5)=An+A5=b+0=b. ∴.7+5是Ar=b的解

性质2： x = +   设 x = 是 的解， x =  是对应的齐 次线性方程组 的解，则 是 的解。 Ax b = Ax b = Ax O= 由 x = 是 的解， x =  是对应的齐 次线性方程组 的解，得： Ax b = Ax O= 证明:  + A( )   A b  = , A O  = . = + A A   = +b O = b.  + =  是Ax b的解

3.解的结构 若求得Ax=b的一个解n,则Ax=b的任一解x 可表示为： x=(x-n)+n 其中5=x-n为对应的齐次方程组Ax=O的解。 这表明：非齐次方程组Ax=b的任一解x都可以 表示为对应的齐次方程组Ax=O的解5和它的一 个特解η的和

* * x x = − + ( )   x * 若求得 的一个解  ，则 的任一解 可表示为： Ax b = Ax b = 其中   = − x * 为对应的齐次方程组 Ax O= 的解。 3. 解的结构 x *  这表明：非齐次方程组 的任一解 都可以 表示为对应的齐次方程组 的解 和它的一 个特解 的和。 Ax O= Ax b = 

齐次线性方程组A=O的解专可表示为： 5=k151+k252+.+kn-,5n, 于是非齐次线性方程组Ax=b的通解为： x=k5+k,5+.+k15r+刀： 其中51,52，.，5n,为对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k1,k2,.,kn-r为任意实数，η为Ax=b 的一个特解

齐次线性方程组 Ax O= 的解  可表示为： 1 1 2 2 . n r n r     k k k = + + + − − 于是非齐次线性方程组 Ax b = 的通解为： * 1 1 2 2 . n r n r x k k k = + + + +     − − 其中 为对应的齐次线性方程组 的基础解系， 为任意实数， 为 的一个特解。 Ax O= 1 2 , , , n r    − 1 2 , , , n r k k k − *  Ax b =

n=4 例1：设四元线性方程组Ax=b有解n,=(1-120), n2=(213-1)',已知R(A)=3,求Ax=b的 通解。 R(A)=3→对应的齐次方程组Ax=O中 基础解系向量的个数为1个。 71,7,为Ax=b的两个解向量 →72一η为对应的齐次方程组Ax=0的解向量。 而n2-,=(121-1)'≠0

例1：设四元线性方程组 有解 ，已知 ，求 的 通解。 ( ) 1 1 1 2 0 , T Ax b =  = − ( ) 2 2 1 3 1 T  = − R A( ) 3 = Ax b = n = 4 R A( ) 3 =  1 对应的齐次方程组 Ax O= 中 基础解系向量的个数为 1个。 1 2  , 为Ax b = 的两个解向量 2 1  − =   为对应的齐次方程组Ax 0的解向量。 ( ) 2 1= 1 2 1 1 T 而 − −  O