《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-4 实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型 第四节 实对称矩阵的相松对角形

第五章 相似矩阵与二次型 第四节 实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型 一、 实对称矩阵的性质 引理1 实对称矩阵的特征值为实数 引理2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

第五章 相似矩阵与二次型 引理1 实对称矩阵的特征值为实数. 一、实对称矩阵的性质 引理2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

第五章相似矩阵与二次型 证明 设P1,P,是对称矩阵A的不同的两个特征值 2,元，的特征向量，即Ap1=入1P1,Ap2=入2P2 .A=A', .()=(Ap)=pA=pA, 于是P1P2=P1Ap2=p1'(22P2)=2P1P2, →(2-2p1P2=0. 元1≠元2，.p1p2=0.即p与p2正交

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , p p A   设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p = =   , ， A A =  , 1 1 1 1 1   p p Ap ( ) ( )   = =  1 1 p A p A,   = =  于是 1 1 2 1 2 1 2 2   p p p Ap p p ( )    = = 2 1 2  p p , =  1 2 1 2  − = ( ) 0.   p p  , 1  2 .  = p p 1 2  0. 即p1与p2正交

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.3设A为阶对称矩阵，2是A的特征方程的 r重根，则矩阵A-入E的秩为-r,从而对应特征值入 恰有个线性无关的特征向量， 定理5.4.1设A为阶实对称矩阵，则有正交矩阵P 使PAP=△，其中A是以A的个特征值为对角元 素的对角矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 1 5.4.1 , , , . A n P P AP A n − =   设 为 阶实对称矩阵 则有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元 素的对 定 角矩阵 理 , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r  − −   设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理

第五章相似矩阵与二次型 二、实对称矩阵对角化的方法 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体 步骤为： 1.求A的特征值 2由(A-2,E)x=0,求出4的特征向量； 3.将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体 步骤为： 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化. 2. ( ) 0, ; 由 A E x A − = i 求出 的特征向量 二、实对称矩阵对角化的方法 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型 4 00 例1设A= 0 3 求正交矩阵P,使P1AP 0 13 为对角形矩阵， 解（①）第一步求4的特征值 4- 0 0 A-AE= 0 3-λ =(2-2)(4-2)2, 0 13- 得特征值入=2,22=入3=4

第五章 相似矩阵与二次型     − − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E 2 = − − (2 )(4 ) ,   2, 4. 得特征值 1 = 2 = 3 = 1 4 0 0 1 0 3 1 0 1 3 . A P P AP −     =       例 设 ，求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵 解 (1)第一步 求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型 (2)第二步由(A-2,E)x=0,求特征值对应的特 征向量 0 对2=2，由(A-2E)x=0,得基础解系5= 1 -1 对入2=2=4，由(A-4E)x=0,得基础解系 1 52= 0, 53= 52与5恰好正交， 0 所以51,52,53两两正交

第五章 相似矩阵与二次型 (2) 0, 第二步 由( A E x − =   i i ) 求特征值 对应的特 征向量 1 1 0 2, ( 2 ) 0, 1 1   A E x     = − = =       − 对 由 得基础解系 2 3 2 3 4, ( 4 ) 0, 1 0 0 1 , . 0 1   A E x   = = − =         = =             对 由 得基础解系 ,  2与 3恰好正交 , , . 所以 1  2  3两两正交

第五章相似矩阵与二次型 (3)第三步，再将5,52,5单位化 令==23得 1 0 71= 1/5 ,72= 0,73= 1/W2 -1/W2 o 1/√2

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 3 (3) , , , 第三步，再将    单位化 1 2 3 0 0 1 1 2 0 1 2 , , . 1 2 1 2 0                = = =             −       ( 1,2,3) i i i i    令 = = 得

第五章相似矩阵与二次型 (4)以p1,P2,P3为列向量得正交矩阵 0 P=(m,)= 1/201/2 -1/201/W2 200 则 P-AP=P'AP= 040 004

第五章 相似矩阵与二次型 ( 1 2 3 ) 0 1 0 , , 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 P        = =       − 1 200 . 0 4 0 0 0 4 P AP P AP −     = =        则 1 2 3 (4) , , 以p p p 为列向量得正交矩阵

第五章相似矩阵与二次型 例2已知实对称矩阵A= 求正交 1-1 0 -1 1 10 矩阵，使PAP为对角矩阵 解：(1)求A的全部特征值 -2 1 1 -1 1 - -1 A-AE= =(2-1)3(2+3) 1 -1 -1 1 -2 故得4的特征值为2=1(3重根)，2，=-3

第五章 相似矩阵与二次型 -1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 . A P AP   −   − =     −     − 例 已知实对称矩阵 求正交 矩阵，使 为对角矩阵 解：(1)求A的全部特征值 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A E      − − − − − = − − − − 3 = − + ( 1) ( 3)   1 2 故得A的特征值为  = = − 1(3 ) 3. 重根