《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 n阶行列式_1.1 n阶行列式的概念

线性代数 山东理工大学

线性代数 山东理工大学

线性代数内容简介： 行列式 矩阵 n维向量 线性方程组相似对角形二次型

线性代数内容简介： 行列式 矩阵 n维向量 线性方程组 相似对角形 二次型

1693年4月，莱布尼茨在给洛必达的信 件中首次提出和使用了行列式，最初是 一种速记的表达方式。 第1章n阶行列式 ·内容提要 §1.1n阶行列式的概念 §1.2n阶行列式的性质 §1.3n阶行列式的计算 §1.4克拉姆法则

第1章 n阶行列式 ◼ 内容提要 §1.1 n阶行列式的概念 §1.2 n阶行列式的性质 §1.3 n阶行列式的计算 §1.4 克拉姆法则 1693年4月，莱布尼茨在给洛必达的信 件中首次提出和使用了行列式，最初是 一种速记的表达方式

第1章n阶行列式 §1.1n阶行列式的概念 ·二阶、三阶及阶行列式 ·行列式的余子式及代数余子式 ·排列与逆序

§1.1 n阶行列式的概念 ● 二阶、三阶及n阶行列式 ● 行列式的余子式及代数余子式 ● 排列与逆序 第1章 n阶行列式

二阶、三阶及n阶行列式 1.二阶行列式 01x+42x2=b ① 二元线性方程组 ② (1.1) 2X1+22x2=b2 由消元法，作①×422-②×42得 (0n022-az21)比，=b,022-42b 作①×a21-②×1得 (0m422-41z421)x2=41mb2-b,421 当442-4，时速方程组有唯一解 b,a2-412b2 x,=4b-b01 L11L2-L12L21 L1mL22-01zL21

一、二阶、三阶及n阶行列式 二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b  + =   + = ① ② 11 22 12 21 2 11 2 1 21 (a a − a a )x = a b − b a 11 22 12 21 1 1 22 12 2 (a a − a a )x = b a − a b 当 a11a22 − a12 时，该方程组有唯一解 a21  0 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 1.二阶行列式 (1.1) 由消元法，作 ① −  a a 22 12 ② 得 作 ① −  a a 21 11 ② 得

二元线性方程组 411X1+a12x2=b 2IX1+422X2=b2 求解公式为 请观察，此公式有何特点？ [=a2-6 >分子、分母均是两个数的乘积减去 411L22-412021 5-6-41 另外两个数的乘积 0112-012021

求解公式为 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b  + =   + = 1 22 12 2 1 11 22 12 21 11 2 1 21 2 11 22 12 21 b a a b x a a a a a b b a x a a a a  − =   −  −  =   − 二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？ ➢分子、分母均是两个数的乘积减去 另外两个数的乘积

二元线性方程组 我们引进新的符号来表示“两个 数乘积减去另外两个数的乘积”。 12 数表 12 22 记号 求解公式为 2 22 b,42-42b2 D 2 =41122-41221 X1= 021 L22 L1122-12L21 表达式411422一称泡由该记号所确定的 411b2-b1421 二阶行列式(Determinant). 01122-01221 其中，4(i=1,2;j=1,2)称为元素. i为行标，表明元素位于第行； 为列标，表明元素位于第列

求解公式为 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b  + =   + = 1 22 12 2 1 11 22 12 21 11 2 1 21 2 11 22 12 21 b a a b x a a a a a b b a x a a a a  − =   −  −  =   − 二元线性方程组 我们引进新的符号来表示“两个 数乘积减去另外两个数的乘积”. 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a = = − 记号 11 12 21 22 a a a a 11 12 21 22 a a 数表 a a 表达式 称为由该记号所确定的 二阶行列式(Determinant). 11 22 12 21 a a a a − 其中， ( 1,2; 1,2) 称为元素. ij a i j = = i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列

注： ()二阶行列式 01 的值是由这四个元素所 L21 a22 表示的一个式子。 (2)记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积一副对角线上两元素之积 主对角线 12 =011022-01221 副对角线 2 如 1×4-2×3=-2 3

注： (1) 二阶行列式 的值是由这四个元素所 表示的一个式子。 (2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 21 22 11 12 a a a a 11 12 21 22 a a a a 主对角线 11 22 = a a 12 21 −a a 副对角线 如： 1 2 3 4 = 1 4  − 2 3 = −2

二元线性方程组 (右端项) 若令 D= 12 ≠0（方程组的系数行列式） 21 2 b D1= 012 b, D2 L22 021 则上述二元线性方程组的解可表示为 七=642-44 01122-01221 41b2-b421 2= 01122-012021

二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b  + =   + = 若令 11 12 21 22 0 a a D a a =  12 1 1 2 22 b b a D a = 1 2 2 11 21 a b D a b = (方程组的系数行列式) 则上述二元线性方程组的解可表示为 1 22 12 2 1 1 11 22 12 21 D D b a a b x a a a a = − = − 11 2 1 21 2 2 11 22 12 21 a b b a D x a a a a D − = = − (右端项)

如：计算线性方程组 七1+2x2=3 2x1+3x2=4 则方程组的系数行列式D=】引 =1×3-2×2=-1≠0 .线性方程组有唯一的解 令： 则原线性方程组的解为 X1=-1,x2=2

如: 计算线性方程组 1 2 1 2 2 3 . 2 3 4 x x x x  + =   + = 则方程组的系数行列式 1 2 2 3 D = 1 3 2 4 3 D = 2 1 3 2 4 D = 则原线性方程组的解为 1 2 x x = − = 1, 2. =  −  1 3 2 2 = − 1 0 线性方程组有唯一的解. 令： = 1， = -2