《线性代数》课程教学资源（试卷习题，B）线性代数试题与答案2

线性代数B期末试题 一、判断题（正确填T,错误填F。每小题2分，共10分） 1.A是n阶方阵，1eR,则有4=川4. () 2.4,B是同阶方阵，且4≠0，则(4B)=BA。 3.如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。 4,若4B均为n阶方阵，则当A>同时，AB一定不相似。 5.n维向量组a,4,a,a线性相关，则a,a}也线性相关。（) 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.下列矩阵中，( )不是初等矩阵。 「001] 010 10 0:869 「100] a100Bl010000o0001 2.设向量组，a,线性无关，则下列向量组中线性无关的是( (A)a-a,a3-4,4-a4 (B)a.2.3+a (C)a,a2,2a1-3a, (D)%,2a+4 3.设A为n阶方阵，且P+A-5E=0。则(A+2E)=( (A)A-E (B)E+4 创34+9 4.设A为m×n矩阵，则有()。 (A)若m<n,则Ar=b有无穷多解： (B)若m<n,则Ar=0有非零解，且基础解系含有n-m个线性无关解向量； (C)若A有n阶子式不为零，则Ar=b有唯一解： (D)若A有n阶子式不为零，则Ar=0仅有零解 5.若n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则() (A)A与B相似(B)A≠B,但4-B卧=0

线性代数 B 期末试题 一、判断题(正确填 T，错误填 F。每小题 2 分，共 10 分) 1． A 是 n 阶方阵，  R，则有 A   A 。 （ ） 2． A，B 是同阶方阵，且 AB  0，则 1 1 1 ( )    AB  B A 。 （ ） 3．如果 A与 B 等价，则 A的行向量组与 B 的行向量组等价。 ( ) 4．若 A, B 均为n阶方阵，则当 A  B 时，A, B 一定不相似。 ( ) 5．n 维向量组1 , 2 , 3 , 4  线性相关，则1 , 2 , 3  也线性相关。 （ ） 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A） 0 0 1 0 1 0 1 0 0       (B) 1 0 0 0 0 0 0 1 0       (C) 1 0 0 0 2 0 0 0 1       (D) 1 0 0 0 1 2 0 0 1        2．设向量组 1 2 3  , , 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A） 1 2 2 3 3 1   ,  ,  （B） 1 2 3 1  , ,  （C） 1 2 1 2  , ,2 3 （D） 2 3 2 3  , ,2  3．设 A 为 n 阶方阵，且 2 A  A 5E  0。则 1 (A 2E)    （ ） (A) A E (B) E  A (C) 1 ( ) 3 A E (D) 1 ( ) 3 A E 4．设 A为m n 矩阵，则有（ ）。 （A）若m  n，则 Ax  b有无穷多解； （B）若m  n，则 Ax  0有非零解，且基础解系含有n  m个线性无关解向量； （C）若 A有n阶子式不为零，则 Ax  b有唯一解； （D）若 A有n阶子式不为零，则 Ax  0仅有零解。 5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A）A 与 B 相似 （B） A  B ，但|A-B|=0

(C)A=B (D)A与B不一定相似，但A=B刷 三、填空题（每小题4分，共20分） 101 n-l 1.n 0 2.A为3阶矩阵，且满足4-3，则4 3A= (0)(2） 1Y %=14=2a=4a,=2 3.向量组 5). 0)是线性 (填相关或 无关)的，它的一个极大线性无关组是 =3 4.己知h,h,乃是四元方程组Ax=b的三个解，其中A的秩RA)=3, 4 (4 (4,则方程组=b的通解为 「2-311 A=1a1 5.设503，且秩4-2，则 四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。 「1211 A=342 1,已知A+B=AB,且22，求矩阵B 2.设a=,-l,-l,)B=(-l,ll-),而A=a'B,求A

（C）A=B （D）A 与 B 不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 0 1 2 1 0 n n   。 2． A为 3 阶矩阵，且满足 A  3,则 1 A =_， * 3A  。 3．向量组 1 1 1 1        ， 2 0 2 5         ， 3 2 4 7        ， 4 1 2 0         是线性 （填相关或 无关）的，它的一个极大线性无关组是 。 4． 已知 1 2 3  , , 是四元方程组 Ax  b的三个解，其中 A的秩 R(A) =3， 1 1 2 3 4        ， 2 3 4 4 4 4           ，则方程组 Ax  b的通解为 。 5．设 2 3 1 1 1 5 0 3 A a         ，且秩(A)=2，则 a= 。 四、计算下列各题（每小题 9 分，共 45 分）。 1．已知 A+B=AB，且 1 2 1 3 4 2 1 2 2 A        ，求矩阵 B。 2.设  (1,1,1,1),   (1,1,1,1)，而 T A    ，求 n A

+2+3=-1 5-2+2%3=-1 3已知方程组-+2+3=a2 有无穷多解，求a以及方程组的通解 4.求一个正交变换将二次型化成标准型 fx1,x2x3）=x-2x号-2x号-4x2+4x13+8x23 5.A,B为4阶方阵，AB+2B=0,矩阵B的秩为2且|E+A=|2E-A=0。(1) 求矩阵A的特征值：(2)A是否可相似对角化？为什么？：(3)求|A+3E。 五.证明题（每题5分，共10分）。 1.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB-BA是否为对称矩阵？证明你的结 论。 2.设A为m×n矩阵，且的秩R(为n,判断AA是否为正定阵？证明你的结论

3.已知方程组 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 2 3 x x ax x x x x ax x a                 有无穷多解，求 a 以及方程组的通解。 4.求一个正交变换将二次型化成标准型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f (x , x , x )  x  2x  2x  4x x  4x x  8x x 5． A，B 为 4 阶方阵，AB+2B=0，矩阵 B 的秩为 2 且|E+A|=|2E-A|=0。（1） 求矩阵 A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。 五．证明题（每题 5 分，共 10 分）。 1．若 A是对称矩阵， B 是反对称矩阵， AB  BA是否为对称矩阵？证明你的结 论。 2．设 A为mn矩阵，且的秩 R(A)为 n，判断 T A A是否为正定阵？证明你的结论

线性代数试题解答(04) 1.(F)4=r4) 2.(T) 100) (000 A=010B=010 3.(F)。如反例： （000 001。 4.(T)(相似矩阵行列式值相同) 5.(F) 二、 1.选B。初等矩阵一定是可逆的。 2.选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与4， a等价，其秩为3，B向量组线性无关：C、D中第三个向量为前两个向量的线 性组合，C、D中的向量组线性相关。 3.选C.由42+A-5E=0→4+A-2E=3E→(1+2E)(A-E)=3E →(4+2E)=;(A-E) 4.选D。A错误，因为m<n,不能保证R(A)=R(Ab);B错误，Ax=O的基 础解系含有”-RA个解向量：C错误，因为有可能R=n<(Ab)=n+1, A=b无解：D正确，因为R()=n。 5.选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵PQ,使得 PAP=dag(,.,2)=QBQ,因此4B都相似于同一个对角矩阵。 三、1.（小”M(按第一列展开） 2.5:3234134) 3.相关（因为向量个数大于向量维数）。，。因为%=2a+%

线性代数试题解答(04) 一、 1．（F）（ A A n    ） 2．（T） 3．（F）。如反例： 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A       ， 0 0 0 0 1 0 0 0 1 B       。 4．（T）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F） 二、 1．选 B。初等矩阵一定是可逆的。 2．选 B。A 中的三个向量之和为零，显然 A 线性相关； B 中的向量组与1， 2，  3 等价, 其秩为 3，B 向量组线性无关；C、D 中第三个向量为前两个向量的线 性组合，C、D 中的向量组线性相关。 3．选 C 。由 5 0 2 A  A  E     2 A  A 2E  3E  A 2E (A E)  3E ，   1 1 2 ( ) 3 A E A E      )。 4．选 D。A 错误，因为m  n，不能保证 R(A)  R(A| b)；B 错误， Ax  0的基 础解系含有n  RA个解向量；C 错误，因为有可能 R(A)  n  R(A| b)  n 1， Ax  b无解；D 正确，因为 R(A)  n。 5 ． 选 A 。 A 正 确 ， 因 为 它 们 可 对 角 化 ， 存 在 可 逆 矩 阵 P,Q ， 使 得 1 1 1 2 ( , , , ) PAP n diag    QBQ      ，因此 A, B 都相似于同一个对角矩阵。 三、1．  1 ! 1 n n  （按第一列展开） 2． 3 1 ； 5 3 （  3A = 2 3 3 A ） 3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。 1 2 4  , , 。因为 3 1 2   2 

Aaa3a,≠0。 4.0234+收0-2-4。因为)=3，原方程组的导出组的基 础解系中只含有一个解向量，取为：+乃，-2叽，由原方程组的通解可表为导出 组的通解与其一个特解之和即得。 5.a=6(R4)=2→A=0) 四、 1,解法一：A+B=AB一(A-E)B=A→B=(-EA.将A-E与4组成 个矩阵(M-E1A,用初等行变换求(E1(M-E)'0。 021121) 100001) 332342 332342 (A-E14)_121122-)121122 100001) (100001 03234-1 01122-2 5-3新，5-50211215-5021121 100001) 100001) 01122-2 01122-2 5-2500-1-3-25-500132-5 (100001) (001) 010-103 B=-103 5-500132-5到.故（32-5) 解法二：A+B=AB→(M-E)B=A→B=(A-E)A 021)(-101Y 001 (4-E)=332=-1-1-3 B=(A-E)A -103 12(326,因此 32-5 (-111-1八 A=a-i-1-11, 1-1-11 2.解： -111-,A=-4A

1 2 4 A |   | 0 。 4．     T T 1 2 3 4  k 2 0  2  4 。因为 RA  3，原方程组的导出组的基 础解系中只含有一个解向量，取为 2 3 1    2 ，由原方程组的通解可表为导出 组的通解与其一个特解之和即得。 5．a  6 （ RA  2  A  0) 四、 1．解法一： A  B  AB    1 A E B A B (A E) A       。将 A E 与 A组成一 个矩阵(A E | A) ，用初等行变换求 1 (E | (A E) A)   。  A E | A =       1 2 1 1 2 2 3 3 2 3 4 2 0 2 1 1 2 1 ( ) 1 3  r  r       1 2 1 1 2 2 3 3 2 3 4 2 1 0 0 0 0 1 2 1 3 1 r 3r,r  r         0 2 1 1 2 1 0 3 2 3 4 1 1 0 0 0 0 1 2 3 r  r         0 2 1 1 2 1 0 1 1 2 2 2 1 0 0 0 0 1 3 2 r  2r  1 0 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 3 2 5           3 r  1 0 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 3 2 5         2 3 r  r          0 0 1 3 2 5 0 1 0 1 0 3 1 0 0 0 0 1 。故          3 2 5 1 0 3 0 0 1 B 。 解法二： A  B  AB    1 A E B A B (A E) A       。 1 0 2 1 1 0 1 ( ) 3 3 2 1 1 3 1 2 1 3 2 6 A E                          ，因此 1 0 0 1 ( ) 1 0 3 3 2 5 B A E A               。 2．解：                1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T A  ， A 4A 2  

A"=(aB)aB).(aB)=a(B'aBa).(B'a)B=(-4)-aB=(-4)A 3.解法一：由方程组有无穷多解，得=46)<3，因此其系数行列式 11a 4非-12=0 -1a1 。即a=-1或a=4。 当a=-1时，该方程组的增广矩阵 (11-1-1 10 (A|b)=1-12-1→ 0000 -1-111 于是R()=4川b)=2<3,方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个 专仔是，原方的一个传口0o明，成0=-.方强 有无穷多解，其通解 (10 114-1) 114- (A川b)=1-12-1→0-2-20 当a=4时增广矩阵 -1411600015 R(4)=2<R(Ab)=3,此时方程组无解。 解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。 11 a (4川b)=1-12-1→0-22-a0 3 2-a 0 -1a1a2(0a+11+aa2-1 0020+a4-aa2-l 由于该方程组有无穷多解，得0=4<3.因此20+04-a=d-1=0

    1 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 4 n n n T T T T T T T T A             A           。 3．解法一：由方程组有无穷多解，得 R(A)  R(A| b)  3，因此其系数行列式 1 1 | | 1 1 2 0 1 1 a A a     。即a  1或a  4。 当a  1时，该方程组的增广矩阵 1 1 1 1 ( | ) 1 1 2 1 1 1 1 1 A b                 1 1 0 1 2 3 0 1 0 2 0 0 0 0         于是 R(A)  R(A| b)  2  3，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个 基础解系 1 3 1 2 2 T        ，原方程组的一个特解  1 0 0 T  ，故a  1时，方程组 有无穷多解，其通解为   1 3 1 0 0 1 2 2 T T k          ， 当 a  4 时 增 广 矩 阵 1 1 4 1 ( | ) 1 1 2 1 1 4 1 16 A b               1 1 4 1 0 2 2 0 0 0 0 15          ， R(A)  2  R(A| b)  3，此时方程组无解。 解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( | ) 1 1 2 1 0 2 2 0 0 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 (1 )(4 ) 1 2 a a a A b a a a a a a a a a a                                                              由于该方程组有无穷多解，得 R(A)  R(A| b)  3。因此 1 2 (1 )(4 ) 1 0 2  a  a  a  

即a=-1。求通解的方法与解法一相同。 4.解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵 （1-22） 1-1-22 A=-2-2414-E=-2-2-14=-(元-2)1+7) 24-2 24-2-入 因此得到其特征值为名==2，乃=-7 再求特征值的特征向量。 解方程组(4-2)x=0,得对应于特征值为名==2的两个线性无关的特 征向量%=(-210，%=(20。 解方程组(A+7E)x=0得对应于特征值为弓=-7的一个特征向量 %=(12-2)/ 再将%=(-210，h=20正交化为A=(-210, 传； 是药=1o.-传号，%=02少果位化E准R /-2525 5 15 3 4W5 5 0 的矩阵即为所求的正交变换矩阵 3)， 其标准形为 f=2+2好-7y。 5.解：(1)由E+4=2E-4=0知1,2为4的特征值。 AB+2B=0→(4+2E)B=0,故2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值2 有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1,2,2,2。 (2)能相似对角化。因为对应于特征值-1,2各有一个特征向量，对应于特征值

即a  1。求通解的方法与解法一相同。 4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵 1 2 2 2 2 4 2 4 2 A            ， 2 1 2 2 | | 2 2 4 ( 2) ( 7) 2 4 2 A E                    因此得到其特征值为 1 2     2 ， 3   7 。 再求特征值的特征向量。 解方程组(A 2E)x  0，得对应于特征值为 1 2     2 的两个线性无关的特 征向量 1  2 1 0 T    ， 2 2 0 1 T   。 解 方 程 组 (A 7E)x  0 得 对 应 于 特 征 值 为 3   7 的 一 个 特 征 向 量 3 1 2 2 T    。 再 将 1  2 1 0 T    ， 2 2 0 1 T   正 交 化 为 1  2 1 0 T p   ， 2 2 4 1 5 5 T p        。 最后将 1  2 1 0 T p   ， 2 2 4 1 5 5 T p        ， 3 1 2 2 T    单位化后组成 的 矩 阵 即 为 所 求 的 正 交 变 换 矩 阵         3 2 3 5 0 3 2 15 4 5 5 5 3 1 15 2 5 5 2 5 ， 其 标 准 形 为 2 3 2 2 2 f  2y1  2y  7 y 。 5 ． 解 ：（ 1 ） 由 E  A  2E  A  0 知 -1 ， 2 为 A 的 特 征 值 。 AB  2B  0  A  2EB  0 ，故-2 为 A 的特征值，又 B 的秩为 2，即特征值-2 有两个线性无关的特征向量，故 A的特征值为-1，2，-2，-2。 （2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2 各有一个特征向量，对应于特征值

-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似 对角化 (3)A+3E的特征值为2,5,1,1。故M+3=10。 五、1.AB-BA为对称矩阵。 证明： (4B-B4)=(ABY -(BA)=B'4'-4'B'=-BA-4-B)=4B-BA, 所以AB-BA为对称矩阵。 2.A'A为正定矩阵。 证明：由A=4A知AA为对称矩阵。对任意的n维向量口≠0，由R4=n 得Aa≠0，a'(aAh=Ma≠0，由定义知AA是正定矩阵

-2 有两个线性无关的特征向量，所以 A有四个线性无关的特征向量，故 A 可相似 对角化。 （3） A 3E 的特征值为 2，5，1，1。故 A 3E =10。 五、1． AB  BA 为对称矩阵。 证明：       T T T AB  BA  AB  BA = T T T T B A  A B =  BA A B = AB  BA ， 所以 AB  BA 为对称矩阵。 2． A A T 为正定矩阵。 证明：由A A A A T T T  知 A A T 为对称矩阵。对任意的n维向量  0，由 RA  n 得 A  0 ，  A A T T = 2 A  0，由定义知 A A T 是正定矩阵