《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 矩阵与向量_2-3 向量组的线性相关性

线性代数 山东理工大学

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第2章矩阵与向量 §2.3 向量组的线性相关性 ●向量的线性组合 ·向量组的线性相关、线性无关 ·向量组的等价 ●向量组的秩 ·向量空间的基

§2.3 向量组的线性相关性 第2章 矩阵与向量 ● 向量的线性组合 ● 向量组的线性相关、线性无关 ● 向量组的等价 ● 向量组的秩 ● 向量空间的基

1.向量的线性组合 定义1： 对于向量组，1,2，L,0m,如果有一组数 入1，元2，L,元m,使C=九C1+22+L+九nmm 称为向量a是向量a1,2,L,am一个线性组 合，或称&可由a1,a2,L,aCm线性表示

1. 向量的线性组合 定义1： 对于向量组 1 2 , , , , ,     L m 如果有一组数    1 2 , , , , L m 使        = + + + 1 1 2 2 L m m 称为向量 是向量 一个线性组 合，或称  可由 1 2 , , ,    L m 线性表示。  1 2 , , ,    L m

例如： 72 1 0 0) B= -5 81= 0 ,82= 1 ,83= 0 0 0 0 3维单位向量组 2 1 0 0 有 -5 =2 0 -5 1 +00 0 0 即B=261-562+083 所以，称B是81,82,83的一个线性组合， 或称B可以由81,82,83来线性表示

例如： 1 2 3 2 1 0 0 -5 , 0 , 1 , 0 0 0 0 1                     = = = =                         有 2 1 0 0 -5 2 0 -5 1 +0 0 0 0 0 1                 =                         即    =2 5 0 1 2 3 − + 所以，称  是    1 2 3 , , 的一个线性组合， 3维单位向量组  1 2 3 或称 可以由    , , 来线性表示

例1证明向量B=(0,4,2)是向量01=(1,2,3)，c2=(2,3,1), a=(3,1,2)的线性组合，并将B用1，a2,a,线性表示。 解假定B=a1+2,2+入，a3,即 1 2 3 2+2 + 04 3 1 由向量的相等，得 2+222+323=0, 22+3九2+23=4， 32+九2+223=2

1 2 3 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) , ,         = = = = 例1 证明向量 是向量 的线性组合，并将 用 线性表示。 1 1 2 2 3 3 解 假定       = + + ,即 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  由向量的相等,得 1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 4 3 1 2 2                    + + =                        

因为系数行列式 1 2 3 2 3 1 =18≠0 3 1 2 由Gramer法则知，方程组有惟一解，可以求出2，=1，入2=1， 23=-1.于是B可由必，2，线性表示，且表达式为 B=1+2-3 一般地，B与&1,42，L,的关系必为下列情形之一： (I)B可由，a2,L,an线性表示，且表达式惟一； (2)B可由a,a2,L,an线性表示，表达式不惟一； (3)B不能由a1,a2,L,an线性表示

1 2 3 2 3 1 18 0 3 1 2 =  因为系数行列式 1 2 3 1 2 3 1, 1, 1. , , , Gramer        = = = − 由 法则知，方程组有惟一解，可以求出 于是 可由 线性表示 且表达式为     = + − 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , : (1) , , , (2) , , , (3) , , , n n n n                 L L L L 一般地, 与 的关系必为下列情形之一 可由 线性表示，且表达式惟一； 可由 线性表示，表达式不惟一； 不能由 线性表示

判断向量B可否由向量组1，C2,L,n线性表示的定理。 定理1： 向量B可由向量组C1,2,L,n线性表示的 充分必要条件是： 以a1,2,L,Cn为系数列向量，以B为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 等价的线性方程组的表示： 011X1 412x2+L = L21X1 + L22X2 +L a2nXn = b2 LL L L L L L + 0m2X2 +L 十 02 a B

定理1: 判断向量  可否由向量组    1 2 , , , L n 线性表示的定理。 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是：  1 2 , , ,    L n 以 1 2 , , ,    L n 为系数列向量，以  为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 等价的线性方程组的表示： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  L L L L L L L L L L L L ( ( 1  ( ( ( ( ( (  2  n

2.线性相关，线性无关 定义2： 给定向量组A:1,2,L,C&m, 如果存在不全为零实数k,k2,L,km,使 k a+kzaz+L +kam=O 称向量组A线性相关. 如果当且仅当k=k,=L=km=0,才使上式成立， 则称向量组A线性相关 如01=(1,0)，02=(2,0).考虑k101+k202=0, 合0+[6=0分16+2x6=u → k1=-2k2·.k,k,有非零解，∴.01,0，线性相关

2. 线性相关, 线性无关 1 2 1 2 1 1 2 2 : , , , , , , , , . m m m m A k k k k k k O A + + + = L L L 给定向量组 如果存在不全为零实数 使 称向量组 线性相关       定义2： 1 2 = = = =0, . m k k k A 如果当且仅当 L 才使上式成立， 则称向量组 线性相关 如  = 1 2 =(1,0), (2,0). 1 1 2 2 考虑k k O  +  = .  1 2 1 2 0 . 0 0 0 k k             + =        1 2 1 2 0.  +  = k k  1 2 k k = −2 . 1 2 k k, 有非零解， 1 2  , 线性相关

1 0 0 0 1 例2讨论n维单位向量组6，= 0 62= 线性相关性。 0 解设个数k1,k2,.,kn使ke,+k2E2+.+knEn=0,即 1 0 0 1 0 0 00 +k2 +.+kn → 0 →k1=k2=.=kn=0.61,62.,8,n线性无关

1 2 , , , 解 设n k k k 个数 n使 1 1 2 2 , n n k k k O    + + + = 即 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 n k k k                         + + + =                         1 2 0 0 n 0 k k k          =                 1 2 = = = 0. n  = k k k 1 2 , ,  n    ， 线性无关。 1 2 1 0 0 0 1 0 2 = = = 0 0 1 n n                                     例 讨论 维单位向量组   ， ， ， 线性相关性

由定义得到如下结论： (①)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是=O. k,a=O→a=O. 米 0

由定义得到如下结论： (1) 只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 = O. 1 k O  = 0  = O