《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形

第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 三次型的理论起源于化三次曲线、三次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax2 +2bxy cy2 d (5-9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度0，做旋转变换 x=x'cos0-y'sine, y=x'sin0+y'cose

第五章 相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 2 2 ax bxy cy d + + = − 2 (5 9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换 cos sin , sin cos , x x y y x y      = −    = +   

第五章相似矩阵与二次型 把方程5-9)化成标准方程 a'x"2+cy"=d (5-10) (⑤-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项我们把该问题推广到一般情况，从而建立 起二次型理论.该理论在数学和物理中都有广泛的应 用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题是讨论 如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成 平方和的形式

第五章 相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 2 2 a x c y d     + = − (5 10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况,从而建立 起二次型理论.该理论在数学和物理中都有广泛的应 用,它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是讨论 如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成 平方和的形式

第五章相似矩阵与二次型 、二次型的概念 1.定义5.5.1含有个变量x1,x2,.,x的二次齐次 多项式 f(K1,x2,xn)=a1x号+2a2x2++2a1nxx。 +22x号+.+22nX2xm 称为二次型. 当是复数时，f称为复二次型； 当是实数时，f称为实二次型

第五章 相似矩阵与二次型 ( ) 1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 , , , , , , 2 2 5 2 . 5. . 1 n n n n n n nn n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x = + + + + + + + + 1 . 含有 个变量 的二次齐次 多项式 称 定 为二次型 义 , ; , . ij ij a f a f 当 是复数时 称为 当 是实数时 称 复二次型 为实二次型 一、二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 例如x+xx2+3x1x3+2x2+4x23+3x号 x x+5x2+(3+i)xx+2xx 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2.设由y1,y2.,yn到变量x1,x2,x的线性变换 X1=C1Jy1+C12y2+.+C1myn’ X2=C21y1+C22J》2+.+C2mJyn, (5-12) Xn=cny+Cn22+.+Cmnyn

第五章 相似矩阵与二次型 例如 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x + + + + + + + + + 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y    = + + +   = + + +  −    = + + +  2 .设由 到变量 的线性变换

第五章相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= X2 ,Y= y2 C=(Ci)mxn yn 当C≠0，X=CY称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换

第五章 相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式: X CY = 1 1 2 2 , ( )ij m n n n x y x y X Y C c x y              = = =               其中 ， 当 C X CY  = 0, 称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换

第五章相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 1.取ai=则20gxx,=gx,x,+0xx,(i<j) 于是f=x子+412水2++4n七Xn +a21X2X1+a2号+.+42n2xn ++amxx+anx++amx =x(a11x1+412x2+.+41mXn) +x2(M21x1+L22X2+.+42mXn） +.+Xn(anix+an2X2+.+amxn）

第五章 相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +     2 ( ) ji ij ij i j ij i j ji j i 1.取a a a x x a x x a x x i j = = +  ，则 于是

第五章相似矩阵与二次型 0111+412X2++41mn 21X1+2X2+.+2mXm =[X13X23.,nJ aniK1+an2x2+.+AnnXn」 av 12 azi 2 =[1,X2,Xn 02

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x             =             11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + +   =       + + +

第五章相似矩阵与二次型 411 12 ain x1 记A= 21 22 X= : 则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵，二次型与对称矩阵是一一对应： 关于二次型矩阵须注意如下几点： (1)二次型矩阵的主对角线上是平方项系数： (2)二次型矩阵的非主对角线上元素是对应交叉 项系数的一半. (3)二次型矩阵是对称矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x             = =             记 则二次型可记作 , . f X AX A =  其中 称为二次型的矩阵 关于二次型矩阵须注意如下几点： 显然，A是对称矩阵.二次型与对称矩阵是一一对应. （3）二次型矩阵是对称矩阵. （1）二次型矩阵的主对角线上是平方项系数. （2）二次型矩阵的非主对角线上元素是对应交叉 项系数的一半

第五章相似矩阵与二次型 2.下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f=XAX,作可逆线性变换X=CY f=XAX=(CY)A(CY) =Y'(CAC)Y=YBY其中B=CAC B=(CAC)=C'A(C)=B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 2. 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f X AX X CY = =  ，作可逆线性变换 f X AX CY A CY = =   ( ) ( ) = = Y C AC Y Y BY    ( ) 其中B C AC =  B C AC C A C B       = = = ( ) ( ) 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵