《线性代数》课程教学资源（书籍教材）同济四版线性代数课本PDF电子版（共六章）

第四版前言 本书第三版自1999年出版以来，广大读者和使用本书的同行们对于它的编 写体系，即先建立线性方程组理论，后讨论向量组的线性相关性的体系，都表示 赞间，认为这样的编排有利于理解线性代数的抽象的知识，降低了学习本课程的 难度。因此在这次修订时，我们保留了原来的体系，仅对其中几处作了次序的调 整，以使叙述更加顺畅；在文字上也作了少许修改，并增加了一些解说性的段蒂， 以使论迷更加通俗易懂：此外还调整并增加了部分例题和习题，共中有些选自近 年研究生入学考试的试题。 这次修订工作仍由同济大学骆承钦同志承担： 编者 2003年2月 ·i

www.1zhao.org 第一版前言 同济大学数学教研室主编的《高等数学》(1978年第1版)年前决定修订再 版，其中的第十三章线性代数决定单独成书，以便应用。为此，由同济大学骆承 软同志把《高等数学》第十三章改编成本书。在改编时，对原教材作了较多的修 改与补充，以期能较为符合1980年制订的教学大纲的要求。 本书介绍线性代数的一些基本知识，可作为高等工业院校工程数学“线性代 数”课程的试用教材和教学参考书。本书前五章教学时数约34学时，第六章较 多地带有理科的色彩，供对数学要求较高的专业选用。各章配有少量习题，书未 附有习题答案。 参加本书审稿的有上海海运学院陆子芬教投（主审）、浙江大学塞骤，孙玉麟 等同志。他们认真审阅了原稿，并提出了不少改进意见，对此我们表示衷心感 谢 编者 1981年11月

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www.1zhao.org 第二版前言 本书第一版自1982年出救以来，我们采用它作为教村，已经经历了多次的 教学实践。这次我们根据在实践中积累的一些经验，并吸取使用本书的同行们 所提出的宝资意见，将它的部分内容作了修改，成为第二版。 这次修订，对第三章和第四章改动精大，第一、二、五章也有改动，并增加了 少量习题。此外，对超出国家教委于987年审定的高等工业学校“线性代数课 程教学基本要求”的内容加了￥号。这次修订工作仍由同济大学骆承饮同志承 担。 北京印刷学院盛祥耀教授洋细审阋了本修订稠，并提出了许多政进的意见， 谨在此表示衷心的感谢。此外，我们还向关心本书和对本书第一版提出宝贵恋 见的间志们表示深切的谢意。 编者 1990年12月

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www.1zhao.org 第三版前言 本书第二版自1991年出版以来，广大读者和使用本书的同行们对本书提出 了许多修改意见，我们谨在此向关心本书和对本书提出宝贵意见的同志们表示 我心的感谢。 这次修订，在第一章增加了二阶与三阶行列式，以加强与中学教学内容的衔 接：第二章增加了少量关于矩阵及其运算的实际背素的内容；第三、四两章作了 衡底更换理论体系的修改。新的第三章先引进矩阵的初等变换和秩的衹念，证 明了初等变换不改变矩阵的秩，然后藉此建立线性方程组有惟一解和有无穷多 解的充分必要条件，解决了线性方程组的求解问题。新的第四章讨论向意组的 线性相关性，由于有了矩库和线性方程组的理论，致使这一讨论大为简化，从而 达到化难为易的目的。 这次修订工作仍由同济大学骆承软同志承担。 天津大学齐植兰教授和北京理工大学史荣昌教授详细审阅了本修订稿，并 提出了许多改进的意见，谨在此表示衷心的感谢。此外，还要感谢教育部高教司 教材处和高等教育出版社对本书的关心和扶植。 编者 1998年8月 ·i

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⊙ 录 第四版前言 第一版前言 第二版前言 第三版前言 第一章行列式 号二阶与三阶行列式.4.】 §2全排列及其逆序数· .4 背3行阶行列式的定义.5 4对换. .8 写5行列式的性质.9 s6行列式按行（列）展开 .16 公7克拉默法测.22 小题. .26 第二章矩阵及其运算 .29 1矩阵 .29 2矩阵的运算 .33 53逆矩阵 .42 多4矩阵分块法 46 习题 53 第三章矩阵的初等变换与线性方程组. 57 药引矩阵的初等变换. 57 苓2初等矩，4 62 爷3矩阵的款. 4线性方程组的解. .71 习脚一 第四章向量组的线性相关性 .82 §！向量组及其线性组合. .82 §2 向量组的线性相关性 .87 §3向量组的秩. .91 §4线性力程组的屏的结构 95 85向量空间. .104

习题四. .108 第五章相似矩阵及二次型.113 1向的内积、长度及正交性.113 药2乃阵的特征值与特征向绿.1【9 》3相似矩阵 123 ”4对称矩阵的对角化.。 126 $5一二次型及其标准形. 129 §6用配方法化二次型城标准形.。 134 谷7正定二次型. 题 .137 ·第六章线性空间与线性变换 141 §1线性空间的定义与性质 141 2维数，基与坐标. .144 约3基变换与坐标变换. 146 的4线性变换. .149 5线性变换的矩阵表示式，。，.， 4152 习题六. .156 习题答案 158

第一章 行列式 本章主要介绍n阶行列式的定义、件质及其计算方法.此外还柴介绍用 阶行列式求解n元线性方程组的克拉默(Cramer)法圳. §1二阶与三阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 ∫anx1+a2x2=b, (1) (anr+ant:b2. 为消去未知数工2，以a2与《：分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得 （a1a2z-a12a21）x1=b,aa-aeh2; 类似地.消去x,得 （a1a2-a2a2i）x2=anb2-1a21 当&142-a:a21≠0时，求得方程组(1)的解为 00经器 (2) (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.其中分母au“ ~a2a是由方程组(I)的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组(1)中 的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 auau (3) anan 表达式a1a2-ana:称为数表(3)所确定的三阶行列式，并记作 un an (4) ua az 效a(i=1,2:)=1,2)称为行列式(4)的心素或元.元索a,的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第：行，第二个下标)称为列标，表明该元素位于第 。】·

广列.位于第i行第)列的元素称为行列式(4)的(i,)元. 上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆.参看图1.1，把a:到a2 的实联线称为主对角线，a1,到a!的虚联线称为副对角线， 于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角 线上两元素之积所得的差. 利用二阶行列式的概念，(2)式中，x2的分子也可写 成二阶行列式，即 图1.1 b1a2-a2b:= b:a12 a2b 若记 那么(2)式可写成 an b D b2 a D、 an b2 a1a2{ 注意这里的分母D是由方程组(1)的系数所确定的二阶行列式（称系数行 列式)，k1的分子D,是用常数项b1、b,林换D中x,的系数a1a:所得的二 阶行列式，x:的分子D2是用常数项b,b,替换D中x:的系数a1、a2所得的 二阶行列式 例1求解二元线性方程组 3x1-2x1=12. 2x:+x:=1. 解由于 D==-(-4=70 -f贤引e(-24 -日-341， 因此 号-92，=- 二、三阶行列式 定义设有9个数排成3行3列的数表 。2

421a2a23 (5) aa dx ax ananan un an am las an ax =auanass+anaas+andzan -undnax danas-unsanan, (6) (6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式. 上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘 积再冠以正负号，其规律遵循图【.2所示的对角线法则：图中有三条实线看作是 平行于主对角线的联线，三条虚线看作是平行于副对角线的联线，实线上三元素 的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号， 图1.2 例2计算三阶行列式 12-4 D=-221 -34-2 解按对角线法则，有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 -1×1×4-2×(-2)×(-2)-(-4)×2×(-3) =-4-6+32-4-8-24=.14. 例3求解方程 11 23x✉0. 49x2 ·3

解方程左端的三阶行列式 D=3x2+4x+18-9x-2x2-12 =x2-5x+6, 出x2-5.r+6=0解得x=2或x=3. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面 先介绍有关全排列的知识，然后引出n阶行列式的概念 §2全排列及其逆序数 先看一个例子 引例用1、2,3个数字，可以组成多少个没有重复数学的三位数？ 解这个问题相当于说，把个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种 不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法：十位上 只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放最后剩下的 个数字，所以只有1种放法.因此，共有3×2×】=6种放法. 这六个不同的三位数是： 123,231,312,132,213,321 在数学中，把考察的对象，例如上例中的数字1、2、3叫做元素，上述问题就 是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于个不同的元素，也可以提出类似的问题：把：个不同的元素排成一 列，共有几种不同的排法？ 把”个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）， ”个不同元素的所有排列的种数，通常用P,表示由引例的结果可知P, 321=6. 为了得出计算P,的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法； 又从剩下的n一1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n一1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取 法.于是 f.三1·（1-1）··321=粒】， 对于”个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同 的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这”个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数。 4