《线性代数》课程教学资源（试卷习题，B）线性代数试题及答案4

一、 单项选择题（本大题共4小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1设行列试时m则行列试8等于( atan+aa A.m+r Cn-m B.p.m-8 (100 2设矩阵A=020,则A-1等于( 003 190 A050 061 00 传。 D.0 1 0 81 (3-121 3.设矩阵A=10-1,A是A的伴随矩阵，则A中位于(1,2)的元素是（ 14 B.6 4设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( 3已知X4矩昨A的行向量组线性无关，则秩A A≠0时B=C B.B≠C时A=司 D.I 等于( D.4 6.设两个向量组a1,a2, a。和B,B,B均线性相关，则( A有不全为0的数x1,x2, ,，使1a+X2a+X,a,0和X1B+X2B2+.X,B0 B.有不全为0的数x1,入2 有不为0的数“ 8g生8》a口 -B2)++(a、-B,)-0 D有不全为0的数x1, 入和不全为0的数μ1，μ2， 2Bt+u,B,0 7.设矩阵A的秩为 -1阶子 B所有 -1阶子式全为0 乙扑不 D所 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组 是其任音2个解测下列结论箭泥的是了 A.+n2是Ax=0的一个解 B+n是Ax=b的一个解 D2nn2是Ax=b的一个解

1 一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 a a a a 11 12 21 22 =m， a a a a 13 11 23 21 =n，则行列式 a a a a a a 11 12 13 21 22 23   等于（ ） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵 A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3       ，则 A-1等于（ ） A. 1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1       B. 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3       C. 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 2       D. 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1       3.设矩阵 A= 3 1 2 1 0 1 2 1 4          ，A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. B  C 时 A=0 C. A  0 时 B=C D. |A|  0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，.，αs和β1，β2，.，βs均线性相关，则（ ） A.有不全为 0 的数λ1，λ2，.，λs 使λ1α1+λ2α2+.+λsαs=0 和λ1β1+λ2β2+.λsβs=0 B.有不全为 0 的数λ1，λ2，.，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+.+λs（αs+βs）=0 C.有不全为 0 的数λ1，λ2，.，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+.+λs（αs-βs）=0 D.有不全为 0 的数λ1，λ2，.，λs和不全为 0 的数μ1，μ2，.，μs使λ1α1+λ2α2+.+ λsαs=0 和μ1β1+μ2β2+.+μsβs=0 7.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（ ） A.所有 r-1 阶子式都不为 0 B.所有 r-1 阶子式全为 0 C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D.所有 r 阶子式都不为 0 8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是 Ax=0 的一个解 B. 1 2 η1+ 1 2 η2是 Ax=b 的一个解 C.η1-η2是 Ax=0 的一个解 D.2η1-η2是 Ax=b 的一个解 9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ ）

A.秩(An B.秩(A)Fn-1 C,A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是( A如存在数入和向量a使Aa=入a,则a是A的属于特征值入的特征向量 B.如存在数入和非零向量a,使（入E-A)a=0,则入是A的特征值 CA的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如X1,入2，入3是A的3个互不相同的特征值，a1,a2,a3依次是A的属于入1，入2， 入3的特征向量，则a1,a2,a3有可能线性相关 11.设λ。是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ。的线性无关的特征向量的个数为k,则必 右( Ak≤3 B.k3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是 A.AP必为1 BA必为1 CA-I=AT DA的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B-CTAC则( AA与B相似 B.A与B不等价 C.A与B有相同的特征值 D.A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为( ) 100Y 111 c.02-3 (0-35 第二部分非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分 15.356 92536 17.设A=(ax3,A=2,A表示中元素a的代数余子式(ij=1,2,3),则 (a1A21+a12A22+a13A23)2+a21A21+a2A22+a23A23P+a31A21+a2A2+a33A2)2= 18.设向量(2，-3,5)与向量(-4,6，a)线性相关，则a时 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它 的通解为 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个 数为 21设向量a、B的长度依次为2和3，则向量a+B与a-B的内积(a+B,a-B)= 22设3阶矩阵A的行列式4=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 2

2 A.秩(A)3 12.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为 1 B.|A|必为 1 C.A-1=AT D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A 与 B 相似 B. A 与 B 不等价 C. A 与 B 有相同的特征值 D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. 2 3 3 4       B. 3 4 2 6       C. 1 0 0 0 2 3 0 3 5        D. 1 1 1 1 2 0 1 0 2       第二部分 非选择题（共 72 分） 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 15. 1 1 1 3 5 6 9 25 36  . 16.设 A= 1 1 1 1 1 1         ，B= 1 1 2 2 3   4       .则 A+2B= . 17. 设 A=(aij)3 × 3 ， |A|=2 ， Aij 表 示 |A| 中 元 素 aij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则 (a11A21+a12A22+a13A23) 2+(a21A21+a22A22+a23A23) 2+(a31A21+a32A22+a33A23) 2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则 a= . 19.设 A 是 3×4 矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解，则它 的通解为 . 20.设 A 是 m×n 矩阵，A 的秩为 r(<n)，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个 数为 . 21.设向量α、β的长度依次为 2 和 3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8，已知 A 有 2 个特征值-1 和 4，则另一特征值为

(0106) 23.设矩阵A=1-3-3，已知a=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值 -2108 (2 为 24设实二次型监小原6分性指数为3，则其规范形为 题共7小题，每小题6分，共42分) 120 25设A9=(3。）求DAB2) -12 31-12 26试计算行列式 -513- 201-1 -5 3 -3 423 27.设矩阵A=11O,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B -123 -2 (3 0 -3 0 28.给定向量组a1= 0 02 ,a= 3 (4) A-1 试判断a4是否为a1,az,a;的线性组合：若是，则求出组合系数。 29.设矩阵A= 426 2-1023 33334 求：(1)秩(A): (2)A的列向量组的一个最大线性无关组。 0 -22 30.设矩阵A=-2-34的全部特征值为1,1和-8求正交矩阵T和对角矩阵D,使TAT=D. 24-3 31.试用配方法化下列二次型为标准形 fx1,X2,X)尸x7+2x3-3x3+4x1x2-4x1x3-4x2x3 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A满足A30,试证明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2 33.设n。是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解， 飞1，飞2是其导出组Ax=0的一个基础解系 试证明 (1)n=n+,n=n5，均是Ax=b的解 (2)n。n,n,线性无关 答案： 、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

3 23.设矩阵 A= 0 10 6 1 3 3 2 10 8          ，已知α= 2 1 2       是它的一个特征向量，则α所对应的特征值 为 . 24.设实二次型 f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分） 25.设 A= 1 2 0 3 4 0 1 2 1       ，B= 2 2 3 4 1  0        .求（1）AB T；（2）|4A|. 26.试计算行列式 3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3       . 27.设矩阵 A= 4 2 3 1 1 0 1 2 3       ，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B. 28.给定向量组α1=      2 1 0 3 ，α2= 1 3 2 4       ，α3= 3 0 21       ，α4= 0 1 4 9       . 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 29.设矩阵 A= 1 2 1 0 2 2 4 2 6 6 2 1 0 2 3 3 3 3 3 4            . 求：（1）秩（A）； （2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵 A= 0 2 2 2 3 4 2 4 3           的全部特征值为 1，1 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T -1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)= x x x x x x x x x 1 2 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3  2  3  4  4  4 ， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E-A 可逆，且（E-A）-1=E+A+A2 . 33.设η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系. 试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是 Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 答案： 一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

空题大共10空”空2分，共0分 11.A 12.B 13.D 日 17.4 18.-10 19.n+c(12-n)(或nz+c(n2-n),c为任意常数 231 24.z7+z3+z-z 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） （1202-2 25解(1)AB=34034 (-121八-10 86) =1810 (310 (2)AA4A64N,而 120 A340=-2. -121 所以4A64·(-2)=-128 |31-1251-11 26解 -513-4 -1113- 201-10010 1-53 -3-5 -530 |511 =-111- -5-50 511 5-5g5-0+10=40 =620 -62 27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而 (2211-4-) (4-2E)-1-10=1-5-3 （-121)（-164 14-3423 所以BA-2E)A=1-5-3110 （-164八-123) 4

4 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分） 15. 6 16. 3 3 7 1 3 7       17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 1 2 2 2 3 2 4 2    三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分） 25.解（1）ABT= 1 2 0 3 4 0 1 2 1 2 2 3 4  1 0               = 8 6 18 10 3 10       . （2）|4A|=4 3 |A|=64|A|，而 |A|= 1 2 0 3 4 0 1 2 1 2    . 所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3 5 1 1 1 11 1 3 1 0 0 1 0 5 5 3 0             = 5 1 1 11 1 1 5 5 0     = 5 1 1 6 2 0 5 5 0 6 2 5 5  30 10 40          . 27.解 AB=A+2B 即（A-2E）B=A，而 （A-2E）-1= 2 2 3 1 1 0 1 2 1 1 4 3 1 5 3 1 6 4 1                      . 所以 B=(A-2E) -1A= 1 4 3 1 5 3 1 6 4 4 2 3 1 1 0 1 2 3                  

(3-8-6 =2-9-6 -2129 -2130 0-53-2 1 28解- -30-1 1-30-1 0224 0112 4 013-112 103 5 1035 011 2 0112 008 0011 (00-14-14 (0000 1002 010 001 1 000 所以a4-2a+a+a3,组合系数为(2,1,1) 一 考虑a4x1a+a2+xa3 -2x1+x2+3x3=0 即 x1-3x2=-1 2X3+2X2=4 3x1+4x,-x1=9 方程组有唯 1)T,组合系数为(2,1,1) 29.解 对矩阵 (1-2-102 0006-2 A 0328-2 0963-2 1-2-1021 (1-2-102) 0328 0328-3 0 003=B 00000J (1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3. (2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是 B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的 个最大线性无关组。 (A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是) 30.解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为 5=(2,-1,0)T, 52=(2,0,1)I 251 25/15 经正交标准化，得n=-5/5,，1=4V5115 513 入=-8的一个特征向量为 5

5 = 3 8 6 2 9 6 2 12 9            . 28.解一                        2 1 3 0 1 3 0 1 0 2 2 4 3 4 1 9 0 5 3 2 1 3 0 1 0 1 1 2 0 13 1 12                   1 0 3 5 0 1 1 2 0 0 8 8 0 0 14 14 1 0 3 5 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 0         1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 , 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3， 即                  2 3 0 3 1 2 2 4 3 4 9 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x . 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29.解 对矩阵 A 施行初等行变换 A              1 2 1 0 2 0 0 0 6 2 0 3 2 8 2 0 9 6 3 2                          1 2 1 0 2 0 3 2 8 3 0 0 0 6 2 0 0 0 21 7 1 2 1 0 2 0 3 2 8 3 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 =B. （1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. （2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形，B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一 个最大线性无关组。 （A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是） 30.解 A 的属于特征值λ=1 的 2 个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T . 经正交标准化，得η1= 2 5 5 5 5 0 /  /       ，η2= 2 5 15 4 5 15 5 3 / / /       . λ=-8 的一个特征向量为

1/3 =2，经单位化得n3213 -2 (-213 (251525115113 所求正交矩阵为T= -515 45/15 2/3 (0 513 -213 100 对角矩阵D=010 (00-8 251525/151/3 (也可取T=0 -513213) 515-45115-213 31解fx1,X2,X3=(x1+2X2-2x3)2-2x2+4x2X3-7x32 =(x1+2x2-2x3)2-2(x2-X3)2-5x32 y1=x1+2x2-2x3 x1=y1-2y2 设y2= X2-X3, 即x2=y2+y3 y3= X3 x3= y3 -20 因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩 (00 经此变换即得x」 的标准形 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E, 所以E-A可逆，且 (E-A)-1=E+A+A2. 33证由假设An0-b,A飞1=0，A飞0. （1)An1=A（n叶51)=An+A51=b,同理An2=b, 所以n ,n2是A-b的2个解。 (2)考虑6n0+hn+hn,=0, (ot/th)notl &=0. 则6++h0,否则n0将是Ax0的解，矛盾。所以 1+h0 又由假设 5,52线性无关，所以=0，h=0,从而0 所以n0,1,2线性无关。 6

6 ξ3= 1 22       ，经单位化得η3= 1 3 2 3 2 3 / / / .        所求正交矩阵为 T= 2 5 5 2 15 15 1 3 5 5 4 5 15 2 3 0 5 3 2 3 / / / / / / / /         . 对角矩阵 D= 1 0 0 0 1 0 0 0 8       . （也可取 T= 2 5 5 2 15 15 1 3 0 5 3 2 3 5 5 4 5 15 2 3 / / / / / / / /          .） 31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x2 2+4x2x3-7x3 2 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x3 2 . 设 y x x x y x x y x 1 1 2 3 2 2 3 3 3   2  2         ， 即 x y y x y y x y 1 1 2 2 2 3 3 3   2         ， 因其系数矩阵 C= 1 2 0 0 1 1 0 0 1        可逆，故此线性变换满秩。 经此变换即得 f(x1，x2，x3)的标准形 y1 2-2y2 2-5y3 2 . 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以 E-A 可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 . 33.证 由假设 Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理 Aη2= b， 所以η1，η2是 Ax=b 的 2 个解。 （2）考虑 l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则 l0+l1+l2=0，否则η0将是 Ax=0 的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以 l1=0，l2=0，从而 l0=0 . 所以η0，η1，η2线性无关