《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 空间解析几何与向量代数_8-2 数量积 向量积

第二节 第八章 数量积向量积*混合积 一、 两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第八章

一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 w =Fs cose 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M M, 记作 aB cos0 aB W=F.5 为a与b的数量积（点积） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当a≠0时，b在a上的投影为 |石cos0记作Prj6万 故 a.B=a Prja B 同理，当≠0时， a.b=bPrja 2.性质 a≠0，b+0 (1)a.a-a2 则ab=0 (2)a,为两个非零向量，则有 0 ab=0三a⊥b ,= π HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 b 在a上的投影为   记作 故 同理,当 0 时,   b  2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba  b Prj a b = a ba  Prj (1) a  a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a  0, b  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.运算律 (1)交换律a.b=bd (2)结合律(2,4为实数) (2b=a:(2b=(a.b (2a)(ub)=2(a(ub) =元u(a.b) Prjea Prje b (3)分配律(a+b)d=a.c+b Prje(a+B) 事实上，当c=可时，显然成立，当c≠0时 (a+B)-=Prjz(a+B)=|@|(Prjca+PrjeB) Prjca+Prjab =a.c+b.c HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b) =  ( a ( b) ) =   (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c  0时 c (a + b) b a bc  a Prj c  Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj  + Prj  ac  = c Prj bc  + c Prj = a  c + b  c Prj (a b) c  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b 1e=(区-@-b)=a.a+b-6-2a-万 =la+2-2allBcoso a=a,b=b,c=7 c2 a2 +b2 -2abcos0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

A B C  a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a − b)(a − b)= a  a + b b − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.数量积的坐标表示 设a=ai+aj+a.k,b=bi+b,j+bk,则 a-b=(axi+ay J+aK)(bxi+by J+b-k) ii=j万=k=1,7j=jk=7=0 a.b=axbx +ayby +ab 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时，由于a.乃=abcos0,得 a.b axbx +ayby +a b- cos a va+a5+ab:+b+b月 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 x y z a + a + a 2 2 2 x y z b + b + b 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z ( a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i  j = j  k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) 则 CoS∠AMB= MA.MB MAMB 1+0+0 2√2 2 故 ∠AMB= 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

MA = ( ), MB = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2,2,1),B( 2,1,2),  AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AMB = 1+ 0 +0 2 2 AMB = 求 MA  MB MA MB 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设均匀流速为市的流体流过一个面积为A的平 面域，且)与该平面域的单位垂直向量的夹角为0， 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度 为p) 解：P=PAcos0 方为单位向量 =pAv.n 单位时间内流过的体积 A cos0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

为  ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量  A 解: 单位时间内流过的体积 P = =  A 且 的夹角为 v v v  n 为单位向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两向量的向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为O 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M=00F=OpFsino OP三F三M符合右手规侧 M⊥OP MLF 00=Op sine M HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L   Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP  F  M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 设a,b的夹角为0，定义 方向：cLa,c⊥b且符合右手规侧 向量c 模：c=absing0 称c为向量a与的向量积，记作 c=axb叉积) 引例中的力矩M=OP×F c-axb 思考：右图三角形面积 S=axb HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c ⊥ a , c ⊥ b c = a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b的 c = ab = ab 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积  a b S＝ 机动 目录 上页 下页 返回 结束