《高等数学》课程教学资源（作业习题）第十一章曲线积分与曲面积分_作业D11——-曲线积分与曲面积分

第十一章曲钱积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 1对孤长的曲线积分 一、填空题： 1.设L是从点(1,0)到点(0,1)的直线段，则，(x+y)d= 2.设L是从点(1,0)到点(-1,2)的直线段，则，(2x-y)d= 3.设L为曲线y=nx上介于x=2,x=3的一段弧，则xd= 4.设L为右半圆周x2+y2=a2,x≥0，则xd=」 二、计算下列对弧长的曲线积分： 1.∫(2x+3y+4),其中L为圆周x2+y2=1在第一象限的部分 2.(x2+y2)ds,其中L为圆周的整个边界 1 3++本，其中r为线x=dcos)y=心sm1:=上相应于！从0到2的这段强

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 1 1 对弧长的曲线积分 一、填空题： 1. 设 L 是从点 (1,0) 到点 (0,1) 的直线段，则    x y ds L ( ) . 2. 设 L 是从点 (1,0) 到点 (1,2) 的直线段，则    x y ds L (2 ) . 3. 设 L 为曲线 y  ln x 上介于 x  2, x  3 的一段弧，则   x ds L 2 . 4. 设 L 为右半圆周 , 0 2 2 2 x  y  a x  ，则   xds L . 二、计算下列对弧长的曲线积分： 1.    L (2x 3y 4)ds ,其中 L 为圆周 1 2 2 x  y  在第一象限的部分. 2.   L x y s 2 2 ( ) d n ，其中 L 为圆周的整个边界. 3. ds x y z    2 2 2 1 ，其中  为曲线 t t t x  e cost, y  e sint,z  e 上相应于 t 从 0 到 2 的这段弧

第十一章曲战积分与曲面积分班纸： 姓名： 序号： 2对坐标的曲线积分 一、填空题： 1.设L是圆x2+y2=1上从点(1,0)到点(-1,0)的半圆孤，则，= 2.设「是曲线x=L,y=cos1,:=sin1上对应1从0到π的一段弧，则x+少-J止= 3.设L为抛物线y=x2上从点(0,0)到点(1，)的一段弧，则对坐标的曲线积分 P(x,):+Qx,y)d化成对弧长的曲线积分为 二、计算下列对坐标的曲线积分： 1.∫(x2-y2,其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧. 3.厂本++(x+y-1d,其中r是从点lD到点2,34的一段直线. 三、计算[(x+y)k+(y-x),其中L是： 1.从点(1,1)到点(4,2)的直线段 2.先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线。 四、达-冰，其中L为圆周x2+y广=口（沿逆时针方向绕行） 2

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 2 2 对坐标的曲线积分 一、填空题： 1.设 L 是圆 1 2 2 x  y  上从点 (1,0) 到点 (1,0) 的半圆弧，则  L xydy . 2. 设  是曲线 x  t, y  cost,z  sint 上对应 t 从 0 到  的一段弧，则     x dx zdy ydz 2 . 3. 设 L 为抛物线 2 y  x 上从点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧，则对坐标的曲线积分   L P(x, y)dx Q(x, y)dy 化成对弧长的曲线积分为 . 二、计算下列对坐标的曲线积分： 1. x y dx L (  ) 2 2 ，其中 L 是抛物线 2 y  x 上从点 (0,0) 到点 (2,4) 的一段弧. 3.  xdx  ydy  (x  y 1)dz ，其中  是从点 (1,1,1) 到点 (2,3,4) 的一段直线. 三、计算     L (x y)dx (y x)dy ，其中 L 是： 1.从点 (1,1) 到点 (4,2) 的直线段. 2.先沿直线从点 (1,1) 到点 (1,2) ，然后再沿直线到点 (4,2) 的折线. 四、   L ydx xdy ,其中 L 为圆周 2 2 2 x  y  a （沿逆时针方向绕行）

第十一章曲线积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 3格林公式及其应用 一、填空题： 1.设L为圆周x2+y2=9(逆时针方向)，则，(x-3y+y2)+2d=」 2设L为椭圆号+上=1（逆时针方向），则fO+d)= 2+5 3.已知仁+达+心为某二元函数的全微分，则常数a= (x+y) 二、计算曲线积分f(2灯y-x)d+(x+y),其中L是由抛物线y=x2和y2=x所围成区域的正 向边界曲线。 三、证明曲线积分(6.y2-y)本+(6x2y-32)在整个x0y面内与路径无关，并计算积分值

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 3 3 格林公式及其应用 一、填空题： 1.设 L 为圆周 9 2 2 x  y  （逆时针方向），则      x y y dx xydy L ( 3 ) 2 2 . 2.设 L 为椭圆 1 2 5 2 2   x y （逆时针方向），则    e (ydx xdy) L xy . 3.已知 2 ( ) ( ) x y x ay dx ydy    为某二元函数的全微分，则常数 a  . 二、计算曲线积分     L (2xy x )dx (x y )dy 2 2 ，其中 L 是由抛物线 2 y  x 和 y  x 2 所围成区域的正 向边界曲线. 三、证明曲线积分 (6xy y )dx (6x y 3xy )dy 3 2 2 3 4 1 2 2     （ ，） （ ，） 在整个 xoy 面内与路径无关，并计算积分值

第十一章曲线积分与曲面积分班纸： 姓名： 序号： 四、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.(2x-y+4)k+(5y+3x-6),其中L是以(0,0)，(3,0)和(3,2)为顶点的三角形正向边界. 2.∫x2-)-(x+sm2),其中L是在圆周y=V2x-x2上由点(0,0)到点(1，D的一段弧 五、验证(x+2y)k+(2x+3y)d在整个xOy面内是某一函数(x,y)的全微分，并求出这样的一个 (x,y)

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 4 四、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.       L (2x y 4)dx (5y 3x 6)dy ，其中 L 是以 (0,0),(3,0) 和 （3，2） 为顶点的三角形正向边界. 2. x y dx x y dy L ( ) ( sin ) 2 2     ,其中 L 是在圆周 2 y  2x  x 上由点 （0，0） 到点 （1，1） 的一段弧. 五、验证 (x  2y)dx (2x 3y)dy 在整个 xoy 面内是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出这样的一个 u(x, y)

第十一章曲线积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 4对面积的曲面积分 一、填空题： 1径红是上半特球面写+学：1e20,已妇上面积为4，测小，9产4长6一 2.设Σ是抛物面：=2-(x2+y2)在xoy面上方的部分，则川d5=_ 3.设Σ是上半球面：=V-产-少严，则∬-2-少否= 二、计算∬(x2+y)5,其中Σ是锥面：=√x2+y及平面：=1所围成的区域的整个边界曲面. 三、计算[(2y-2x2-x+z)d5,其中是平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分. 四、计算∬仁+2x+切S,其中工是平面+皆+导=1在第一卦限中的部分. 5

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 5 4 对面积的曲面积分 一、填空题： 1.设  是上半椭球面 1 9 4 2 2 2   z  x y （z  0） ，已知  面积为 A ,则      (4x 9y 36z )dS 2 2 2 . 2.设  是抛物面 2 ( ) 2 2 z   x  y 在 xoy 面上方的部分，则    dS . 3.设  是上半球面 2 2 2 z  a  x  y ，则      a x y dS 2 2 2 . 二、计算   (x  y )dS 2 2 ，其中  是锥面 2 2 z  x  y 及平面 z 1 所围成的区域的整个边界曲面. 三、计算   (2xy  2x  x  z)dS 2 ，其中  是平面 2x  2y  z  6 在第一卦限中的部分. 四、计算   (z x y)dS 3 4 2 ，其中  是平面 1 2 3 4    x y z 在第一卦限中的部分

第十一章曲战积分与曲面积分班纸： 姓名： 序号： 5对坐标的曲面积分 一、填空题： 1.设Σ是平面3x+2y+25:=6在第一卦限内的部分的上侧，把对坐标的曲面积分 川P(x,y,t+Q(x,y,)dd杰+R(x,y,d化成对面积的曲面积分 2.设2={x,以，0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤，Σ是长方体2的整个表面的外侧，则曲面积分 开rdt+ydt+:w= 二、计算开xdy,其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的 外侧. 三、计算∬xydd小，其中Σ是球面x2+少2+子=㎡的下半部分的下侧.（可只化为=重积分） 四、计算川xt+比+d,其中Σ是柱面x2+y2-1被平面：=0及：=3所截得的在第一卦限 内的部分的前侧。（可只化为二重积分）》

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 6 5 对坐标的曲面积分 一、填空题： 1.设  是平面 3x  2y  2 3z  6 在第一卦限内的部分的上侧，把对坐标的曲面积分 P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy   ( , , )  ( , , )  ( , , ) 化成对面积的曲面积分 . 2.设  {(x, y,z) 0  x 1,0  y 1,0  z 1}, 是长方体  的整个表面的外侧，则曲面积分      x dydz y dzdx z dxdy 3 3 3 . 二、计算   xzdxdy ，其中  是平面 x  0, y  0,z  0, x  y  z 1 所围成的空间区域的整个边界曲面的 外侧. 三、计算 x y zdxdy   2 2 ，其中  是球面 2 2 2 2 x  y  z  a 的下半部分的下侧.（可只化为二重积分） 四、计算   xdydz  ydzdx  zdxdy ，其中  是柱面 1 2 2 x  y  被平面 z  0 及 z  3 所截得的在第一卦限 内的部分的前侧. （可只化为二重积分）

第十一章曲线积分与曲面积分班纸： 姓名： 序号： 6高斯公式斯托克斯公式 一、填空题： 1.设Σ是由圆锥面：=1-√x2+y2与x0y面所围圆锥体的整个表面的外侧，则曲面积分 fdydE+xdEds +didy 二、利用高斯公式计算下列曲面积分： *1.开xdt+ydt+zdkd,其中2是球面x2+y2+z2=a2的外侧 2.开xt+t+dd,其中Σ是介于：=0及：=3之间的圆柱体x2+y2≤9的整个表面的 外侧

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 7 6 高斯公式 斯托克斯公式 一、填空题： 1.设  是由圆锥面 2 2 z 1 x  y 与 xoy 面所围圆锥体的整个表面的外侧，则曲面积分      z dydz xdzdx dxdy 2 . 二、利用高斯公式计算下列曲面积分： *1. x dydz y dzdx z dxdy 3 3 3     ， 其中  是球面 2 2 2 2 x  y  z  a 的外侧. 2. xdydz  ydzdx  zdxdy   ， 其中  是介于 z  0 及 z  3 之间的圆柱体 9 2 2 x  y  的整个表面的 外侧

第十一章曲战积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 三、计算川x2dt+(x2y-2)dtd+(1+y2:)d,其中Σ为上半球面z=√2-x2-2的上侧。 四、计算∬2x2t+(e2y+y)td+(10-z)dd,其中为曲面：=(x2+y)介于平面：=0与 :=2之间的部分的下侧

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 8 三、计算 xz dydz (x y z )dzdx (1 y z)dxdy 2 2 3 2       ，其中  为上半球面 2 2 2 z  a  x  y 的上侧. 四、计算 2xz dydz (z y y)dzdx (10 z )dxdy 2 2 3       ，其中  为曲面 ( ) 2 1 2 2 z  x  y 介于平面 z  0 与 z  2 之间的部分的下侧