《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_4对面积曲面积分

第四节 第十一章 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 考HIGH EDUCATION PRESS 008

第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十一章

一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：若曲面Σ是光滑的，它的面密度为连续函数 4(x,Jy,),求它的质量M. 分析：若的密度是均匀的，即4(x,Jy,z)=常数 则 M=u×Σ的面积 而 的面积=∬V1+z径+子 Dxy 其中，：=z(x,y)是曲面的方程 D是Σ在xOy面上的投影。 所谓曲面光滑：曲面上各点处都有切平面，且当点在 曲面上连续移动时，切平面也连续转动， HIGH EDUCATION PRESS

引例： 若曲面  是光滑的, 它的面密度为连续函数 所谓曲面光滑：曲面上各点处都有切平面,且当点在 曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 分析：若的密度是均匀的，即 (x, y,z) = 常数 则 M =   的面积 ， 而  =  + + Dx y x y z z dxdy 2 2 的面积 1 其中，z = z (x , y)是曲面的方程， Dxy 是  在 xOy 面上的投影。 ( x, y,z), 求它的质量 M . 一、对面积的曲面积分的概念与性质

引例 若曲面Σ是光滑的，它的面密度为连 续函数4(x,y,z),求它的质量M. (1)分割，用一组曲线网将Σ分成n个小曲面 △S1,△S2,△Sm 直径1，九2，.，九m △S (2)近似求和，求质量的近似值 △M;≈4(5，n,Si)△Si, M≈∑4(5,7,5i)△S1, i=1 (3)取极限，求质量的精确值 取九=max{21,入2，入m} 则M=1im∑4(5,5i)AS; 入→0 為HIGH EDUC行ON PRESS

若曲面  是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量 M . 引例 x y z 0  Si （1）分割，用一组曲线网将  分成 n 个小曲面 S S Sn , , , 1 2  直径：    n , , , 1 2  （2）近似求和，求质量的近似值 • ( , , )  i i  i ( , , ) , Mi    i i  i Si ( , , ) , 1  =   n i M   i i  i Si （3）取极限，求质量的精确值 max{ , , , } 取  =  1 2   n  → = =  n i M i i i Si 1 0 lim ( , , )  则

定义：设Σ为光滑曲面，f(x,y)是定义在∑上的一 个有界函数，若对Σ做任意分割和局部区域任意取点 乘积和式极限 j∬fx,y,=)as k=】 都存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分其中f(x,?)叫做被积 函数，Σ叫做积分曲面 据此定义，曲面形构件的质量为 M=∬x,x)as 曲面面积为S=∬dS HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

  M = (x, y,z)d S 定义: 设  为光滑曲面, “乘积 和式 极限” 都存在, 的曲面积分   f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在  上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对  做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面  上对面积 函数,  叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

·积分的存在性若f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性若Σ是分片光滑的， 例如分成两 片光滑曲面∑1，∑2，则有 Jsfx,yads=3fx,x)ds+八3，fx,)ds 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ·线性性质设k1,飞2为常数，则 不等式性质等 kfx,y,=)±kg(x,y,aS =k1∬fx,y,)ds±k2sg(x,y)ds HIGH EDUCATION PRESS

则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 =  f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S    k1 f (x, y,z)  k2 g(x, y,z) d S • 线性性质.     = k1 f (x, y,z)dS  k2 g(x, y,z)dS 在光滑曲面  上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若  是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 不等式性质等

二、对面积的曲面积分的计算法 定理：设有光滑曲面 Σ：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy f(化，y)在∑上连续，则曲面积分 八x,x)ds存在，且有 J八fx,y,2)ds +)+,(.ydrdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在  上连续,  存在, 且有  f (x, y,z)dS  = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 Dxy  机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 若曲面∑： =(x,y) ∬fx,2s f[x,y,(x,)1+(x,y)+(x,y)dxdy D (1)确定Σ的方程：z=(x,y) (2)确定在xoy面上的投影区域Dy (3)将曲面方程z=(x,y)及 dS=+(x,y)+(x,y)dxdy 代入∬fx,ys中即可。 投、二代、三换 HIGH EDUCATION PRESS

（2）确定在xoy 面上的投影区域 D x y （3）将曲面方程 z z x y = ( , ) 及 2 2 1 ( , ) ( , ) x y d S z x y z x y d xd y = + + 代入 f x y z dS ( , , )   中即可。 （1）确定 的方程: z z x y = ( , ); 一投、二代、三换 =   + + Dx y x y f[x, y,z(x, y)] 1 z (x, y) z (x, y) d xd y 2 2 1. 若曲面  : z = z(x, y)   f (x, y,z)dS

说明：如果曲面方程为 x=x(y,2),(y,2)∈DΞ ∬x,y)s=∬Ix0V+xy2+x 或y=(x,2),(x,2)∈Dx f,yaas=儿xca+y+yd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: Dyz x = x( y,z), ( y,z) Dxz 或 y = y(x,z), (x,z) 如果曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 [ , ( , ), ] 1 xz x z D = + + f x y x z z y y dxdz    f x y z dS ( , , )   2 2 [ ( , ), , ] 1 yz y z D = + + f x y z y z x x dydz    f x y z dS ( , , )  

例1.计算曲画分了s 其中Σ是球面x2 +z =a被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 解：z=a2-x2-y2,(x,)eDy Dsy:x2+y2sa2-h2 1+2+号=a- -a-o a-h 0 a2-r -2c-hnc2-]。=2sog HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

Dxy 例1. 计算曲面积分 其中是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 Dxy : x + y  a − h 2 2 1 x y + z + z    z d S  =   2 0 a d 0 ln( ) 2 1 2 2 2 2 2 a h a a r +   − −   =   − − = Dx y a x y a x y 2 2 2 d d  − − 2 2 0 2 2 a h d a r r r o x z y  h a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考： 若∑是球面x2+y2+z2=a被平行平面：=±h截 出的上下两部分，则 isel) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思考: 若  是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, ( ) d =   z S ( ) d =   z S 0 h 4 ln a  a 则 h − h  o x z y  机动 目录 上页 下页 返回 结束