《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章_8-3平面及其方程

第三为 第八章 平面及其方程 曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第八章 一、曲面方程与空间曲线方程的概念

曲面方程与空间曲线方程的概念 定义 如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,z)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 HIGH EDUCATION PRESS

定义 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 一、曲面方程与空间曲线方程的概念

空间曲线方程一 空间曲线可视为两曲面的交线 F(x,y,2)=0 空间曲线方程 G(x,y,2)=0 S2 图形 G(x,z)是0 Fx,=0 满足关系 (1)曲线L上的任意点的坐标都满足此方程组， (2)不在曲线L上的点的坐标不满足此方程， HIGH EDUCATION PRESS

空间曲线方程 空间曲线可视为两曲面的交线 空间曲线方程 (1) 曲线 L上的任意点的坐标都满足此方程组; (2) 不在曲线 L上的点的坐标不满足此方程, 满足关系: 图形

二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M,(xo,y%,2)且垂直于非零向 量=(A,B,C),求该平面的方程 任取点M(x,y,z)∈Ⅱ，则有 MoM Ln 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-y0,2-2o) n=(A,B,C), A(x-xo)+By-%)+C(z-0)=0 称①式为平面的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量. HIGH EDUCATION PRESS @e0C①8 机动目录上页下页返回结束

 z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

A(x-x)+B(y-yo)+C(z-20)=0 例1求过点(2，-3,0)且以(1，-2,3)为法线向量的 平面的方程 解根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 (x-2)-2y+3+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0 HIGH EDUCATION PRESS

(x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的 平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为

例2.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面的法向量为 因为MM2=(-3,4,-6), M M M1M3=(-2,3,-1) M2 n=MM2×MM3= -3 4 =14i+9j-k, 23 一1 =(14,9,-1) 又M,∈卫，利用点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

i j k = 例2.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为 → ( 3, 4, 6) M1 M2 = − − , → ( 2, 3, 1) M1 M3 = − − , 因为 → ( 3, 4, 6) M1 M2 = − − , → ( 2, 3, 1) M1 M3 = − − , → → i j k i j k n = + − − − =  = − − 14 9 2 3 1 3 4 6 M1 M2 M1 M3 

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C20) ② 任取一组满足上述方程的数x0,0,0,则 Axo+Byo+Czo+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-Yo)+C(z-Zo)=0 ④ 显然方程②与方程④等价， 因此方程②的图形是法向量为=(A,B,C)的平面， 此方程称为平面的一般方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般方程. Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与方程④等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C  ② 因此方程②的图形是法向量为 n = (A,B,C) 的平面, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ ④

平面的一般方程为Ax+B+Cz+D=0,其法线向量为=(A,B,C) 讨论：1.填写下表： 平面方程 法线向量 法线向量垂直于平面平行于 By+Cz+D=0 1= (0,B,C) x轴 x轴 Ax+Cz+D-0 = (A,0,C) y轴 y轴 Ax+By+D=0 =(A,B,0) 二轴 z轴 Cz+D=0 = (0,0,C) x轴和y轴 xOy平面 Ax+D-0 n=(A,0,0) y轴和z轴 yOz平面 By+D=0 =(0,B,0) x轴和z轴 zOx平面 2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点？ 提示：D=0,平面过原点. HIGH EDUCATION PRESS

平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 法线向量垂直于 平面平行于 x 轴 y 轴 z 轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 n= (0, B, C) n= (A, 0, C) n= (A, B, 0) n= (0, 0, C) n= (A, 0, 0) n= (0, B, 0) x 轴 y 轴 z 轴 x 轴和 y轴 y 轴和 z轴 x 轴和 z轴 讨论： 1.填写下表: 提示： D = 0, 平面过原点. 2. 平面 Ax +By +Cz = 0 有什么特点？

例3.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得 C=-3B 将C=-3B其代入所设方程，得 By-3Bz=0 故所求平面方程为y-3z=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By +Cz = 0 代入已知点 (4, −3, −1) 得 故所求平面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将C = -3B其代入所设方程, 得 By-3Bz =0

例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c),求此平面的方程(a≠0，b≠0，c≠0) 解设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0. 因为点P、Q、R都在这平面上，所以 C 它们的坐标都满足所设方程，即有 a4+D-0,bB+D-0,cC+D-0, 由此得 将其代入所设方程，得 -Dx-Dy-Dz+D=0,即x++三=1. 截距式方程 a b c HIGH EDUCATION PRESS

例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、 Q(0, b, 0)、R(0, 0, c), 求此平面的方程(a0, b0, c0) 将其代入所设方程, 得 解 因为点P、Q、R都在这平面上, 所以 它们的坐标都满足所设方程,即有 aA+D=0, bB+D=0, cC+D=0, 设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 − − − z + D=0 c D y b D x a D , 即 + + =1 c z b y a x  截距式方程