《高等数学》课程教学资源（PPT课件）5.1向量及其运算（2/2）

第五章 第一节向量及其运算 数量积、向量积、混合积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

数量积、向量积、混合积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 第一节 向量及其运算

一、 两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=Fs cose 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M M 记作 acos0 ab W=F.s 为a与的数量积（点积） HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当a≠0时，b在a上的投影为 |万cos6记作Prjg万 故a.b=a Prinb 同理，当b≠0时 a.b=BPrjra 2.性质 (1)a.a-ap (2)a1b二 a.b-0 HIGH EDUCATION PRESS O◆0C08 机动目录上页下页返回结束

 b 在a上的投影为   记作 故 同理,当 0 时,   b  2. 性质 （2） b Prja  b a b = a Prja  b (1) a  a = ⊥ a b = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.运算律 (1)交换律a.b=bd (2) 结合律(2,4为实数) (2à)b=a(2b=2(ab (2a)(ub)=2(a·(4b)） =2u(a.b) (3)分配律(a+b)c=ac+b元 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) =  ( a ( b)) =   (a b) (3) 分配律 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+62-2abcos0 HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束

A B C  a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.数量积的坐标表示 设a=a,i+a,了+a.k,=bi+b,万+b无，则 a.b=(axi+ay J+az k)-(bx i+by j+bk) ii=j万=.=1,7j=jk=7=0 a.b=axbx +ayby +a_b- 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时，由于a.b=abcos0,得 a.b axbx +ayby +a-b- cos0 a b a+aj+a ++b2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 ax + ay + az 2 2 2 bx + by + bz 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z (a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i  j = j  k = k i a b a b •两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知a=(1,1,-4),b=(1,-2,2) 求（①a.b,(2a,b 3)pri;a HIGH EDUCATION PRESS OeOC③8 机动目录上页下页返回结束

例2. 已知 a b = − = − (1,1, 4), (1, 2,2), (2)( ) a b,  (1) , a b (3) b 求 prj a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.已知a+3b17a-56,a-4b17a-2b 求a,b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 已知 a b a b + ⊥ − 3 7 5 , ( ) a b,  求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b a b − ⊥ − 4 7 2

二、两向量的向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为O 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M=0F=pFsine OP三F三M符合右手规则 M⊥OP MIF 00=OP sine HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L   Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP  F  M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 设a,b的夹角为0，定义 方向：La,cLb且符合右手规则 向量c 模：c=absin0 称c为向量ā与的向量积，记作 c=axb(叉积 引例中的力矩M=OP×F c-axb 思考：右图三角形面积 S= axb HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c ⊥ a, c ⊥ b c = a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b的 c = ab = ab 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积  a b S＝ 机动 目录 上页 下页 返回 结束