《高等数学》课程教学资源（PPT课件）7.2三重积分在柱坐标下的计算

三重积分在柱坐标下的计算

三重积分在柱坐标下的计算

一、三重积分在柱坐标系下的计算 (一) 柱坐标系 (二) 柱坐标系的适用条件 (三) 三重积分计算公式 (四) 化为累次积分的方法

一、三重积分在柱坐标系下的计算 （一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法

三重积分在柱坐标系下的计算 (一) 柱坐标系 (二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式 (四)化为累次积分的方法

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>柱坐标系平面极坐标系添加z轴得到的空间坐标系 >柱坐标 设M(xy,)eR3,(x,y)→(p,0) (x,y,z)> (p,8,z) 点M的柱坐标 >直角坐标与柱坐标的关系 x=pcos0 y=psin Z=2 M(x,y,2） 规定0≤p≤+0,0≤0≤2π，-0<Z<+0 在柱坐标系下 p=常数 圆柱面 2,0) 0=常数 半平面 z=常数 平面

o x y z ( , , ) R , 3 设M x y z  y =  sin z = z x =  cos  =常数 在柱坐标系下 圆柱面  =常数 半平面 z =常数 平面 o  z M (x, y,z)  (x, y,0) ➢柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系 ➢柱坐标 点M的柱坐标 ➢直角坐标与柱坐标的关系 规定

三重积分在柱坐标系下的计算 (一) 柱坐标系 (二)柱坐标系的适用条件 (三)三重积分计算公式 (四)化为累次积分的方法

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—一般地在f(x,y,2)dv中 若 >2在xo面的投影为圆或圆的一部分。一→2为圆柱体 >f,z)中含有x+y或arctan上的项 则可以考虑用柱坐标计算三重积分

一般地 若 ➢Ω在xoy面的投影为圆或圆的一部分 则可以考虑用柱坐标计算三重积分 在 中 ➢f(x,y,z)中含有 2 2 x y + 或 arctan y x 的项 Ω为圆柱体

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>将直角坐标系下三重积分化为柱坐标系下三重积分 1.体积元素的变化 dv=pdpdedz 2.被积函数的变化 f(x,y,z)→f(pcos0,psin0,z） 3.积分区域的变化 将2的边界曲面用柱坐标表示 >柱坐标系下三重积分计算公式 f(x,y.=)dv=[[f(pcos0,psin0,=)pdpdedz

z  dz d d  d v = d  dd z x y z o  d  d ➢将直角坐标系下三重积分化为柱坐标系下三重积分 1．体积元素的变化 2．被积函数的变化 3．积分区域的变化 将Ω的边界曲面用柱坐标表示 ➢柱坐标系下三重积分计算公式 f x y z v f z z ( , , )d ( cos , sin , ) d d d          =  