《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-1 对弧长的曲线积分

第十一章 曲线积与曲面积 积分学 定积分二 重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区间 平面域 空间域 曲线弧 曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分

第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分 曲线弧 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分

第一节 第十一章 对狐长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法

第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分 第十一章

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例：曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件L在xOy面所 占弧段为AB,其线密度为4(x,y)。 计算此构件的质量. x 匀质之质量M=4·S 变质之质量，采用 “大化小-分割，常代变-取近似，近似和，求极限

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件L在xOy面所 占弧段为AB , 其线密度为 计算此构件的质量. 1.引例: 曲线形构件的质量 o x y A B L 匀质之质量 M s    . “大化小-分割, 常代变-取近似, 近似和, 求极限” 变质之质量，采用

1)“大化小分割” 在L上任意插入一点列M,M2,y .,M,把L分成n个小段： M △S1,△S2,.,△S △s M 也表示各个弧段的弧长 X 2)常代变-取近似” 在每个MM,(△s),任取一点(5,7)，用该点的线密度 代替这段上各点的线密度，得这一弧段质量的近似值 △m,≈u(5,7,)△s

o x y A B M1M2 Mi1 MiM n1 L M0 M n 1)“大化小-分割” 2)“常代变-取近似” ( , ) i i  

3)“近似和” m-n-2以5， 4)“取极限” 令=max{△s,△s,.,△sn} 则此构件的质量： m=∑4(5,7)△s 1→0 i=

3)“近似和”        1 ( , ) n i i i i s 4)“取极限” 令     max , , ,  s s s 1 2 n  0 1 lim ( , ) n i i i i m s          则此构件的质量：

定义设L为xoy面内一条光滑曲线弧，函数f(x,y) 在L上有界.用L上的点M,M2,M把L分成n 个小段设第个小段的长度为△s,又(5,7)为第 i个小段上任意取定的一点，作乘积f(5,7,)△s, 并作和∑f(5,7,)△，如果当各小弧段的长度 最大值入→O时，这和的极限存在，则称此极限 为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分，记作，f(x,y)ds,即 jfx,y)ds=lim∑f5,n)△ 0 i=l

定义 1 2 1 1 , ( , ) . , , , . , ( , ) , ( , ) , ( , ) , 0 , , ( , ) , n i i i i i i n i i i i L xoy f x y L L M M M L n i s i f s f s f x y L f                设 为 面内一条光滑曲线弧 函数 在 上有界 用 上的点 把 分成 个小段 设第 个小段的长度为 又 为第 个小段上任意取定的一点 作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度 最大值 时 对弧长 这和的极限存在 则称此极限 为函数 在曲线弧 上 或 的曲线积分 第一类曲线积分 记作 ( , ) , L x y ds  即 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i L i f x y ds f s          

被积函数 f(xy)ds=lim ∑f(5,7,)△s i=] 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量M=4(x,y)ds 如果L是闭曲线，则记为手，f(x,y)d 如果T是空间的曲线弧，则f(x,y)在曲线T上对弧长的 曲线积分为 ∫nf(x,y)ds=1im∑f(5n,5,)As >0

0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i L i f x y ds f s           积分弧段 被积函数 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . L M x y ds    如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 如果 Γ 是空间的曲线弧, 0 1 lim ( , , ) n i i i i i f s        f x y z s ( , , )d    则f (x,y,z)在曲线Γ上对弧长的 曲线积分为

3.性质 (1)[of(x,y)+B(x.y)]ds =aJf(x.)ds +B(xds (a,B为常数) (2)∫fx,)ds=∫fx,y)ds+jfx,y)ds (L由L,L组成) (3)设在L上f(x,y)≤g(x,y),则 ∫fx,y)ds≤gx,y)ds (4),ds=1(1为曲线弧L的长度》

3. 性质 (1) ( , ) d   L f x y s  （,  为常数) (2) ( , )d L f x y s  ( L由 组成) ( l 为曲线弧 L 的长度) g x y ( , ) ( , )d L  f x y s  ( , )d L  g x y s  1 2 ( , )d ( , )d L L   f x y s f x y s  

二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分化， 计算定积分 定理：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=(t)(C≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分∫，f(x)ds存在，且 /x,ds=∫/Io).wu小vo2)+w2u)d 证：根据定义 J,d=g之f(5m)A

        f x y s f  t  t  t  t t L ( , )d [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 转 化 计算定积分 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 0 1 lim ( , ) n i i i i f s        

设各分点对应参数为t(i=0,1,.,n) B,) 点(5,7，)对应参数为T,∈[t-1,1] n) M (t M2() △，=∫Vo)+g)d =Vo2()+w2(x)△，∈[] 则Jfx)ds =lim∑f[p(c,),w(c,)】Vp'()+y2(g)△1 2-→0 i=l 注意Vo2(0+w2)连续 =1m∑fo(,).w(,)】Vp(c,)+w(G,)△4 10

0 1 lim ( , ) n i i i i f s         点 ( , ) i i   1 2 2 ( ) ( ) d i i t i t s t t t          2 2 ( ) ( ) , i i i            t 0 1 lim n i     [ ( ), ( )] i i f     注意  2 (t)  2 (t)连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则 0 1 lim n i     [ ( ), ( )] i i f     A B 1 1 M t( ) 2 2 M t( ) 1 1 ( ) M t i i   ( ) M t i i 1 1 ( ) M t n n   L 0 0 M t( ) ( ) M t n n ( , ) i i   i 