《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章多元函数微分法及其应用 9-8 多元函数的极值及其求法

第、节 第九章 多无萄款的值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值

第八节 第九章 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(x0,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值

一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O (极小值)

一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值， z=-√x2+y2在点(0,0)有极大值

一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O (极小值)

一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(x0,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值： z=-Vx2+y2 在点(0,0)有极大值 2=xy在点(0,0)无极值

一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x z O y (极小值)

定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y%)=0,f(x00)=0 证：因z=f(x,y)在点(xo,o)取得极值，故 z=f(x,o)在x=xo取得极值 2=f(x,y)在y=y取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值

说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. f x (x0 , y0 )  0 , f y (x0 , y0 )  0 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故

定理2（充分条件）若函数z=f(xy)在点(x0,0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,f(x0,y0)=0 令A=fxx(0,0),B=fxy(x0,0),C=fy(xo,0） 「A0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值， 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论

时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z  f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0  f y x0 y0  ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y  xx  x y  y y 0 2 AC  B  0 2 AC  B  0 2 AC  B  且

例2.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值， 解：第一步求驻点。 fx(x,y)=3x2+6.x-9=0 解方程组 1f(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B xx,y)=6x+6,f(x,y)=0,y(x,)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0.A>0, .f(1,0)=-5为极小值：

例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y)  6x  6, xx f (x, y)  0, xy f (x, y)  6y  6 y y 12 6 0, 2 AC  B    A  0

在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 4AC-B2=12×(6)0,A<0, ∴f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=O,Jyy(x,y)=-6y+6 A B

在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. f (x, y)  6x  6, xx f (x, y)  0, xy f (x, y)  6y  6 y y 12 6 0, 2 AC  B     12 ( 6) 0, 2 AC  B      A  0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC  B     A B C

例3.讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2在点(0,0) 是否取得极值 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(00)都有 AC-B2=0 z=x3+y3在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为负，因此0,0)不是极值 0 当x2+y2≠0时，：=(x2+y2)2>0.0=0 因此z(0,0)=(x2+y2)20.0=0为极小值

例3.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2  y 2  时 2 2 2 z  (x  y )  z (0,0)  0 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 O x y z

点(-1,2)是函数f(x,y)=x2+2x+y2-4y的（) A.非驻点B.是驻点但不取得极值C.最小值点D.最大值点