《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章多元函数微分法及其应用 9-1 多元函数的基本概念

第九章 多无药款散分法 及其寇用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意：善于类比，区别异同

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用

第一节 第九章 多元品款的基森烧 一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性

第一节 第九章 一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念

一、 平面点集 1.平面点集 二元有序实数组化，)的全体，就表示坐标平面， 记作：R2={(x,y)lx∈R,y∈R: 平面点集E通常是坐标平面上具有某种性质的点的集合， 记作：E={化ycy)具有性质P 如： (1){(x,y)x>0,y>0}—第一象限内的点 (2){(x,y川x2+y2<1}一单位圆内的点

一、 平面点集 1. 平面点集 二元有序实数组(x,y)的全体，就表示坐标平面， 2 记作： R x y x R y R    {( , ) | , }. 平面点集E通常是坐标平面上具有某种性质的点的集合, 记作：E={(x,y)|(x,y)具有性质P} 第一象限内的点 如： (1) (2) 单位圆内的点 {( x, y) | x  0, y  0} {( , ) | 1} 2 2 x y x  y 

2.邻域 点集U(P,6)={PPP<δ，称为点P的6邻域 例如，在平面上， U(R,)={《x,y)V(x-x)2+(y-o)2<δ}（圆邻域） 在几何上，U(P,ǒ)就是以点P(xo）为中心 δ为半径的圆内部的点的全体。 U(P,δ)6 点P的去心邻域记为U(P,6)={P0<PP<δ 0(B,)={x,0<c-x护+心-<} 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U(P),U(P,)

 PP  δ 0 0 2. 邻域 点集 称为点 P0 的 邻域. 例如,在平面上, U (P0 , δ )  (x, y)  (圆邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 o 0 0 U P U P ( ), ( ). 点 P0 的去心邻域记为 PP  δ 0 在几何上， 就是以点P0 (x0 , y0 )为中心，  为半径的圆内部的点的全体。   o 0 U P( , ) ( , ) δ  x y

3.区域 (1)内点、外点、边界点 设有点集E及一点P: ·若存在点P的某邻域U(P)eE 则称P为E的内点； ·若存在点P的某邻域UP)∩E=☑， 则称P为E的外点， ·若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点，则称P为E的边界点 显然，E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E

3. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P :  若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,  若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  ,  若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E

(2)聚点 若对任意给定的δ，点P的去心 邻域U(P,δ)内总有E中的点，则 称P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为 E的边界点) 所有聚点所成的点集成为E的导集

(2) 聚点 若对任意给定的 ,点P 的去心 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 )

(3)开区域及闭区域 ·若点集E的点都是内点，则称E为开集： ·E的边界点的全体称为E的边界，记作E; ·若点集EoE,则称E为闭集： 。若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连， 则称D是连通的； 。连通的开集称为开区域，简称区域， ·开区域连同它的边界一起称为闭区域

D (3) 开区域及闭区域  若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；  若点集 E E , 则称 E 为闭集；  若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,  开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ;  连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。  E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;

例如，在平面上 *{(x,y)x+y>0} 开☒域 +{(x,y)1<x2+y2<4)》 {(x,y)x+y≥0) 闭区域 {(x,y)1≤x2+y2≤4}

例如，在平面上 (x, y) x  y  0  ( , ) 1 4  2 2 x y  x  y  (x, y) x  y  0 ( , ) 1 4  2 2 x y  x  y  开区域 闭区域     x y O x y O 1 2 x y O x y O 1 2

.整个平面是最大的开域， 也是最大的闭域； 点集{(x,y)x>1}是开集， 但非区域 ·对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点 A的距离AP飞K,则称D为有界域，否则称为无 界域

 整个平面  点集 (x, y) x  1 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 但非区域 . 1 1  对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 x y O

二、多元函数的概念 引例： 。圆柱体的体积 V=元r2h,{(r,h)r>0,h>0} 。定量理想气体的压强 RT P= (R为常数)，{(V,T)V>0,T>T》 。三角形面积的海伦公式(P=+) 2 S=p(p-a)(p-b)(p-c) {(a,b,c)a>0,b>0,c>0,a+b>c}

二、多元函数的概念 引例:  圆柱体的体积  定量理想气体的压强  三角形面积的海伦公式 c b a h r