《高等数学》课程教学资源（各章复习要点）11-曲线积分和曲面积分复习

1、曲线积分 (1)对弧长的曲线积分 光滑曲线弧：L:x=p(t),y=y()(a≤t≤) Jf.ds=J"fo.vh20+2dr 如果曲线L的方程为y=W(x)(a≤x≤b), ds=f()dx (2)对坐标的曲线积分 L:x=p(1),y=w(t)(t:a->B) ∫Px,yd+Qx,y)d =P)v((.v(d

1、曲线积分 (1)对弧长的曲线积分         f x y s f  t  t  t  t t L ( , )d [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 光滑曲线弧： 如果曲线 L 的方程为 1 (x) dx 2    b a f (x,(x)) (2)对坐标的曲线积分

1、曲线积分 如果L的方程为y=y(x),x:a→b,则 P(x)dx+(x)dy =∫2(P[x,w(x+O[x,w(x】w'(x)dx (3)Green公式 dxdy=④.Pdx+edy (④)曲线积分与路径无关的条件 aP a0 Oy Ox

1、曲线积分 (3)Green公式 如果 L 的方程为 y  (x), x : a b, 则 P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d      (x) d d d d L D Q P x y P x Q y x y                (4)曲线积分与路径无关的条件 P Q y x     

1. 设L为圆周x2+y2=a2(a>0),则f,eyds=

2.L是圆周(x-2)+y2=4上半部和x轴围成的封闭弧段，顺时针方向.求积分 .(y+xeXix+(x2e-y)dy-_

3.若曲线积分∫，y2dr+xdy与路径无关，则k

2、曲面积分 (1)对面积的曲面积分 有光滑曲面Σ：z=z(x,y),(x,y)∈D, ∬fx,z)ds =f(x.y.z(x.))1+z(x.)+z(x.y)dxdy (2)对坐标的曲面积分 有向光滑曲面∑：z=z(x,y),(x,y)∈D ∬Rx,y,)dd=±∬R(x,y(x,y)》dxdy

2、曲面积分 (1)对面积的曲面积分 (2)对坐标的曲面积分 有光滑曲面 ( , , ) Dx y  f x y  有向光滑曲面 R x y z x y ( , , )d d   ( , , ) D x y  R x y   z(x, y) d xd y

(3)Guass2公式 Ox'Oy dxdydz pdddx = Σ的方向取外侧

(3)Guass公式 d d d d d d P y z Q z x R x y       的方向取外侧

1.计算∬xddz+ddr+zddy,其中为曲面z=x2+y2被z=4 所截得的部分的下侧」