《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）6.4多元函数微分学应用

第四节 多元面数微分学的应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、空间曲面的切平面与法线 三、多元函数的极值 HIGH EDUCATION PRESS 返回结束

第四节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、空间曲面的切平面与法线 多元函数微分学的应用 三、多元函数的极值

一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面

1.曲线方程为参数方程的情况 G:x=j(t),y=y(1),z=w(1) 设t=t0对应M(x0,y0,2o) 切线的方向向量： T=0)yo),wto)》 称为曲线的切向量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况 切线的方向向量: 称为曲线的切向量

G:x=j(),y=y(0,2=w(0 设t=t0对应M(x0,y0,o) 曲线的切向量：T=(o),yto),wo) 切线方程 x-0=y-Y0=2-20 ito)v cto)w(to) 法平面方程 i0)(x-x)+y4)y-yo)+w0(2-z0)=0 HIGH EDUCATION PRESS

曲线的切向量: 法平面方程 切线方程

例1.求圆柱螺旋线x=acos1,y=asint,z=b(a,biR,a10,b10) 在1=号对应点处的切线方程和法平面方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动自录项

例1.求圆柱螺旋线 在 对应点处的切线方程和法平面方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求曲线 i x=asin't iy=bsintcost 在1=号对应点处的切线 z =ccos2t 方程和法平面方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 下页 返回结束

例2.求曲线 在 对应点处的切线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程和法平面方程

2.若空间曲线T的方程为}y)() iz=y (x) ix=x 取x为参数，则可表为参数方程的形式 y=j(x) Az=y (x) 若j(x)y(x)都在x处可导，则 立=1'(xo)y'(xo)} 故曲线T在M(x0,y0,20)处的切线方程 为 x”0三y-y0=三”20 1 j(xo)y'(xo) 法平面方程为 (x-xo)+j'(xo)(y-Yo)+y '(xo)(z-2o)=0 HIGH EDUCATION PRESS

取x为参数，则可表为参数方程的形式 若空间曲线 的方程为 法平面方程为 切线方程 2

例3.求曲线y=2x 在M(1,2,4)处的切线 12=x+3 方程和法平面方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 下页 返回结录

例3.求曲线 在 处的切线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程和法平面方程

二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面S:F(x,y,z=0 通过其上定点M(xo,yo,2o)任意引一条光滑曲线 G:x=j(t),y=y(),z=w(),设1=t0对应点M,且 i4o),y1o),wo)不全为0.则口在 点M的切向量为 7=0to)yto),wo》 切线方程为 x-0=y-0=2-20 i to)y to) wto） 可知： 口上过点M的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上.此平面称为口在该点的切平面. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 返回结束

二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 ￾ 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 可知: 此平面称为 ￾ 在该点的切平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ￾ 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上

曲面口在点M的法向量 n=(F(xo0,20),(x0y0,20),F.(x00,20》 切平面方程 Fx(x0,y0,2o)(x-x0)+F,(x0,y0,20)y-y0) +F(x0,y0,20)(z-20)=0 法线方程 x-x0 y-Yo 2-Z0 F(x0,y0,20) T,(x0,y0,20)Fz(x0,y0,20) HIGH EDUCATION PRESS 返回

曲面 ￾ 在点 M 的法向量 法线方程 切平面方程 复习 目录 上页 下页 返回 结束