《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）6.2偏导数

第二节 多元品数的偏导数与全微 偏导数的定义与计算 二、偏导数的几何意义 三、高阶偏导数 四、全微分 HIGH EDUCATION PRESS 结球

第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数的定义与计算 二、偏导数的几何意义 多元函数的偏导数与全微分 三、高阶偏导数 四、全微分

偏导数定义与计算 定义1.设函数z=f(x,y)在点(xoyo)的某邻域内 极限 lim f(xo +Dx,Yo)-f(xoz Yo) Dx®O Dx 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,yo)对x 的如发，记为是0号 fx(xo-Yo): 注意：才(oyo)=1im f(xo +Dx,yo)-f(xo-yo) Dx®O Dx HIGH EDUCATION PRESS

定义1. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 一、 偏导数定义与计算

同样可定义对y的偏导数 (xo.o)lim fo-o+D)-f(xo,yo) Dy®O Dy 若函数：=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对 或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 f. x’ x zs,f(x,y) HIGH EDUCATION PRESS 结球

同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在

偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=fx,y,)在点(x,y,)处对x 鹘数定义为 y.2)=lim(x+De.y.2)-fxy,2) Dx®O Dx fy(xy,2)=? f2(x,y,2=? HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回 结球

例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为

例1.求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 HIGH EDUCATION PRESS

例1 . 求 在点(1 , 2) 处的偏导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设z=x'(x>0,且x1),求偏导数 12 1= Ix'1y 例3.求r=x2+y2+z2的偏导数 HIGH EDUCATION PRESS 动 自录 上 结球

例2. 设 例3. 求 的偏导数 . 求偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设f(x,)=(x-1)g(y)+(y-1)h(x) 求f1,1) 例5.求=sin(x+y2-e)的偏导数。 HIGH EDUCATION PRESS 目录

例4. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 的偏导数

注： (1)偏导数的记号是一个整体的符号，不可分割。 (2)对于多元函数，分段函数在分段点的偏导数 通过偏导数定义计算。 (3)一元函数，可导与连续的关系，对于多元函 数可导和连续的关系？ HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回 结球

注： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）偏导数的记号是一个整体的符号，不可分割。 （2）对于多元函数，分段函数在分段点的偏导数 通过偏导数定义计算。 （3）一元函数，可导与连续的关系，对于多元函 数可导和连续的关系？

函数在某点各偏导数都存在， 但在该点不一定连续 2 例如，z=f(x,y)=1x2+y ,x2+y210 ￥0 x2+y2=0 f(0,0)=1imf0±D0)-f0,0 Dh®0 =0 f(0,0)=0 己知f(x,y)在点(0,0)并不连续！ HIGH EDUCATION PRESS 上节例目录 结束

函数在某点各偏导数都存在, 例如, 但在该点不一定连续. 上节例 目录 上页 下页 返回 结束 已知 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!

二、二元函数偏导数的几何意义： Y=y. x X0 是曲线 2=f(代，y在点M,处的切线 y=yo M,T,对x轴的斜率 =为 是曲线 2=f(x,)在点M,处的切线MoI,对y轴的 x=xo 斜率 HIGH EDUCATION PRESS

二、二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的