《高等数学》课程教学资源（各章复习要点）12-无穷级数复习

一、常数项级数 3个重要的常数项级数： 等比级数 ag”=a+ag+ag2++ag”+.(a≠0) n=0 q0) 当p>1收敛，当0<p≤1时发散

等比级数 q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 调和级数 发散 . p 级数  p  p  p  n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 当p p    1 0 1 收敛,当 时发散. 一、常数项级数 3个重要的常数项级数：

1.判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件lim un=0 n->0 不满足 发散 满足 比值审敛法 lim 0 比较审敛法 n-→o Un P=1不定 极限审敛法 根值审敛法 用它法判别 limun p 部分和极限 n-→o0 p>1 收敛 发散

1. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 lim  0  n n u 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n un1 un   根值审敛法    n n n lim u  1 收 敛 发 散  1 不定 比较审敛法 用它法判别 极限审敛法 部分和极限  1

2.Leibniz判别法（交错级数） un≥4n+1>0 lim u =0 →则交错级数 ∑(-1)”un收敛 n= n→00 3.任意项级数审敛法 ●●】 概念： 设∑4n为收敛级数 n=1 00 若∑4n收敛，称∑n 绝对收敛 n=] n=l 若∑un发散，称∑4n条件收敛 n=1 n=l

2. Leibniz判别法(交错级数): un  un1  0 lim  0  n n u 则交错级数 n n n  u    1 ( 1) 收敛 3. 任意项级数审敛法 概念: 为收敛级数 绝对收敛 条件收敛

数 1.￥ n+的敛散性为 (填收敛或发散) n 级数仁3的收纹性为 2. (u为常数).（填收敛或发散）

3设级数2与Qg 则() A.级数(1)、(2)都收敛；B.级数(1)、(2)都发散； C.级数(1)收敛，(2)发散；D.级数(1)发散，2)收敛

4设有级效。”， () AP>1时三条件收效 B.p>1时，2-)绝对收敛 n=1 n=1 n C.0<p≤1时，∑-绝对收敛 =1 D0<ps1时，三发散 1 5.级数∑(-1)-n(1+)（) =1 A.发散B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不能确定

二、幂级数 1.收敛半径、收敛区间、收敛域 ● ax” 的收敛半径为R=lim 0 n=0 n-→o0 an+l 收敛区间为：(-R,R) 其它的幂级数：如乏(2m 0(n 2"n

二、幂级数 1. 收敛半径、收敛区间、收敛域 的收敛半径为 1 lim    n n n a a R 收敛区间为： ( , ) R R 其它的幂级数：如

2.和函数 先求收敛域，再求在收敛域上的和函数。 方法（性质）： 两个幂级数的四则运算仍为一个幂级数。 幂级数的和函数可以逐项求积或逐项求导。 凑出等比的幂级数，或已知的幂级数的和函数

2. 和函数 先求收敛域，再求在收敛域上的和函数。 方法（性质）： 两个幂级数的四则运算仍为一个幂级数。 幂级数的和函数可以逐项求积或逐项求导。 凑出等比的幂级数，或已知的幂级数的和函数

3.函数展成幂级数 常用函数的幂级数展开式 ●e=1+x+x2++x”+.,x∈(-0，+0) 2 n! ●ln(1+x)=x- 1.31.4 (-1) x+1+. n+1 x∈(-1，+1] 3 ●Slnx=x 31大40 _r7 x2+1 5171 ++(-1)” (2n+1)月 x∈(-0，+∞) 2n cosx=1 21 41 6 ++(-1) (2n)川 X∈(-0，+0

3. 函数展成幂级数 常用函数的幂级数展开式 x  e 1 x(,  )  ln(1 x)  x x(1, 1]  x 2 2! 1  x , ! 1  x n  n 2 2 1  x 3 3 1  x  4  4 1 x 1 1 ( 1)     n n x n       (2 1)! ( 1) 2 1 n x n n  sin x  x 3! 3 x  5! 5 x    7! 7 x  cos x 1 2! 2 x  4! 4 x    6! 6 x    (2 )! ( 1) 2 n x n n x(,  ) x(,  )

。(1+x)m=1+mx+mm-) 2 +mm=).m-m+x”+.xe(-1,1) n! 当m=-1时 =1-x+x2-x3+.+(-1)”x”+,x∈(-1,1) 1+x 用间接方法求其它函数的幂级数展开式

m  (1 x) 1 mx 2 2! ( 1) x m m           n x n m m m n ! ( 1) ( 1) 当 m = –1 时 1 x 1 1 ( 1) ,   x  x 2  x 3   n x n  x(1,1) x(1,1) 用间接方法求其它函数的幂级数展开式