《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 无穷级数 12-3 幂级数

第三节 第十二章 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十二章

一、函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,)为定义在区间I上的函数，称 ∑4n(x)=41(x)+u2()++n()+ n= 为定义在区间I上的函数项级数 对x0∈I,若常数项级数∑4n(xo)收敛，称x为其收 n=l 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域： 00 若常数项级数 ∑4n(xo)发散，称xo为其发散点，所有 n=] 发散点的全体称为其发散域

一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 Sx)=∑4，() n=1 若用S,(x)表示函数项级数前n项的和，即 S.()=∑4x) k=1 令余项 r(x)=S(x)-S,(x) 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x), lim r,(x)=0 n→00 n-→00

为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它

例如，等比级数 ∑x”=1+x+x2++x”+ n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 1 n=0 1-x 它的发散域是(-o,-1]及[1，+∞)，或写作x≥1

例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 ( , 1]及[1， ）, 或写作 x 1. 有和函数

二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x)”=a0+a,(x-x0)+a2(x-x)》2+ n=0 .+an(x-x0)”+ 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,l,)称 为幂级数的系数 下面着重讨论xo=0的情形，即 ∑anx”=a0+ax+ax2++anx”+ n=0 例如，幂级数 x”=x1即此形 n=0

二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0       x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称

00 定理1.(Abel定理)若幂级数 anx” n=0 在x=x0点收敛，则对满足不等式xxo的一切x,该幂级数也发散. 证：设∑anx收敛，则必有1 lim ax=0,于是存在 n=0 n->o0 常数M>0,使 anxo ≤M(n=1,2,.） 收敛发散 散 收 敛 发散

收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数   n0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 发 散 收 O 敛 发 散 x 阿贝尔

le-ai-a xo 当|xxo且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾 故假设不真.所以若当x=x,时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>xo的x,原幂级数也发散： 证毕

当 x  x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x  x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x  x 0 x 满足不等式 0 x  x 所以若当 0 x  x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0  0 n n n x x a x 0 0   证毕

由Abel定理可以看出，∑anx” 的收敛域是以原点为 中心的区间 n=0 用土R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=+o时，幂级数在（一0，+o)收敛： 0<R<+o,幂级数在（一R,R)收敛；在[一R,R] 外发散，在x=±R可能收敛也可能发散. R称为收敛半径，（一R,R)称为收敛区间 (一R,R)加上收敛的端点称为收敛域 收敛发散 ● 发 散 收O敛 发 散X

幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出,   n0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = + 时, 0  R   , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x  R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 O 敛 发 散 x 收敛 发散

o0 定理2.若∑anx”的系数满足1im An+l =P,则 n=0 )当p0时，R=p 2)当p=0时，R=+0; 3)当p=+o时，R=0, 证： lim a1x n→o0 anx" 1)若p0,则根据比值审敛法可知 当px1,即x>时，原级数发散

x a a a x a x n n n n n n n n        1 1 1 lim lim 定理2. 若 的系数满足 1 ;  R  R   ; R  0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当  x 1, 原级数收敛; 当  x 1, 原级数发散. 即  1 x  时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝+∞时, 即 时, 则  1 x 

因此级数的收敛半径R= 2)若P=0,则根据比值审敛法可知，对任意x原级数 绝对收敛，因此R=+∞； 3)若p=+0,则对除x=0以外的一切x原级数发 散，因此R=0 说明：据此定理 anx”的收敛半径为R= lim an n=0 1n→0 An+l

2) 若   0, 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , R   ; 3) 若   , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发 R  0 . 对任意 x 原级数 因此 散 ,因此 的收敛半径为 说明:据此定理 1 lim    n n n a a R 因此级数的收敛半径 . 1  R 