《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章多元函数微分法及其应用 9-3 全微分

第三节 第九章 全微分 一元函数y=f(x)的微分 △y=A△x+o(△x) 应用 近似计算 dy=f'(x)△x 估计误差 本节内容： 一、全微分的定义 *二、全微分在近似计算中的应用

第九章 *二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 y  Ax  o(x) dy  f (x)x 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分

、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(,y)≈f(x,y)△x f(,y+△y)-f(x,y) f,(x,y)Ay 二元函数对x和 二元函数对x和 对y的偏增量 对y的偏微分

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f x x y f x y ( , ) ( , )    ( , ) x   f x y x f x y y f x y ( , ) ( , )    ( , ) y   f x y y 二元函数对x和 对y的偏增量 二元函数对x和 对y的偏微分

设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某领域内有定义， P'(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点，则称这两 点的函数值之差f(x+△x,y+△y)-f(x,y)为函数在点 P对应于自变量增量△x和△y全增量，记作△z,即 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y). 一 般来说，计算全增量△比较复杂.与一元函数的 情形，我们希望用自变量的增量△x,△的线性函数来近 似地代替函数的全增量△z,从而引入如下定义：

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z f x y P x y P x x y y f x x y y f x y P x y              设函数 在点 的某领域内有定义， 为这邻域内的任意一点，则称这两 点的函数值之差 为函数在点 对应于自变量增 和 全增量，记作z，即       z f x x y y f x y = ( , ) ( , ). , z x y z     一般来说，计算全增量 比较复杂.与一元函数的 情形，我们希望用自变量的增量 的线性函数来近 似地代替函数的全增量 ，从而引入如下定义：

定义：如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △2=A△x+BAy+o(P),p=V(△x)2+(△y)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分，记作 dz=A△x+B△y 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微

定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z  Ax  B y  o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz A x B y     若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. A x B y Δ  Δ

当函数可微时： lim△z=lim[(A△x+B△y)+o(p)]=0 △x→>0 0->0 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y） △Ax→0 △y-→0 =f(x+△x,y+△y)-(x,y) dz=A△x+B△y △z=A△x+B△y+O(P)

 z  Ax  B y  o( ) dz A x B y     z  f (x  x, y  y)  f (x, y) lim( ) ( ) 0    Ax  By  o  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x         当函数可微时 : 得 z y x      0 0 lim  0  f (x, y)

当函数可微时： lim 2 △z=lim[(A△x+B△y)+o(p)]=0 △x→0 p->0 △y→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 4y->0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微三偏导数存在 (2)偏导数连续二函数可微

(2) 偏导数连续lim( ) ( ) 0    Ax  By  o  下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x         当函数可微时 : 得 z y x      0 0 lim  0  f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

定理1必要条件)若函数二=f(x,y)在点(x,y)可微， 则该函数在该点的偏导数 0202 必存在，且有 Ox'Oy dz= Ax+ 0x y 证：因函数在点(x,y)可微，故△z=A△x+B△y+o(p) 令△y=0,得到对x的偏增量 △z=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) Oz lim △=A 8x △x-→0△x 同样可证 =B,因此有dz= 0y 02 Ly 8x

定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 y y z x x z z        d  x z    同样可证 B, y z    证:因函数在点(x, y) 可微, 故 令y  0,  Ax  o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x  x x 因此有 x zx x     0 lim  A

注意：定理1的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微！ 2x2+y2≠0 反例：函数f,)= 0 x2+y2=0 易知f(0,0)=f,(0,0)=0,但 A-[/.(0,0)Ax+/,(0,0)A=Ax+(A △x△y △x△y △x△y 42+△)p(△x2+(△ 0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微

反例: 函数 f (x, y)  易知 (0, 0)  (0, 0)  0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]   x   y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y       2 2 ( x) ( y) x y       0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2    x y x y xy 0, 0 2 2 x  y 

定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 z Ox ay 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,)的全微分为 Ou du= △y+ Ox 0y 0z 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du= ou dx Ox oud 8y Ox oudy 必：称为偏微分、上述性质称为叠加原理

定理2 (充分条件) y z x z     若函数 的偏导数 , 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.     x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u  f (x, y,z) d u  习惯上把自变量的增量用微分表示, d u  称为偏微分. z z u d    的全微分为     y y u z z u    于是 d , d , d u u u x y z x y z       上述性质称为叠加原理

例1.计算函数=x2y+y2的全微分 解：：6=2g,0y x =x2+2y .dz=2xydx+(x2+2y)dy. 例2.计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分 Oz =ye*y =xexy 0z 解： 8x 0y 0z 0z ax(2,1) (2,)=2e2 .dz -e2dx+2e2dy=e2(dx+2dy) (2,1)

例1. 计算函数 的全微分. 解: z x       y z 2 , xy 2 x y  2 例2. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解:    x z 2 2 2e (2,1) e , (2,1)       y z x z    y z e , xy y xy xe