《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 无穷级数 12-2 常数项级数的审敛法

第二节 第十二章 常款页级款的审敘法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 *四、绝对收敛级数的性质

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章 *四、绝对收敛级数的性质

一、正项级数及其审敛法 00 若n≥0，则称∑4，为正项级数 n= 定理1，正项级数 ∑4n收敛二部分和序列S n= (n=1,2,.有界 证：“→”若∑4n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n= um≥0，∴.部分和数列{Sn}单调递增 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 N=

一、正项级数及其审敛法 若  0, un   n1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “

定理2（比较审敛法 设∑4，∑，是两个正项级数 n= 且4n≤Vn(n=1,2,.).若级数∑y,收敛，则级数 n= n= 收敛；反之，若级数∑4发散，则级数∑y,发散， n= 证设级数∑y,收敛于和o,则级数∑u,的部分和 n= Sn=41+2+.+un≤y+y2+.+Vn≤O(n=1,2,.), 即部分和数列{sn}有界，由定理1知级数∑4，收敛. n= 反之，若级数∑n发散，则级数∑y,必发散.因为若 n= n= 级数 ∑y,收敛，则级数∑u,也收敛，与假设矛盾。 n= n=

定理2 (比较审敛法) 设 且 是两个正项级数

推论设∑a,∑ n是两个正项级数，如果级数 n= 收敛，且存在正整数N,使当n≥N时有un≤w,(k>0) 成立，那么级数∑4，收敛：如果级数∑y,发散，且当 n=1 n= n≥N时有u,≥m(k>0)成立，那么级数∑n发散 n=

推论 设 是两个正项级数

例1.讨论p级数1+ 3P n2+.(常数p>0 的敛散性， 解：1)若p≤1，因为对一切n∈N+, 而调和级数 发散，由比较审敛法可知p级数 发散

例1. 讨论 p 级数  p  p  p  n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数   1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

2)若p>1,因为当k-1≤x≤k时， xP故 是-hx≤%dx 从而级数的部分和 5-10s1+心=1+d a1*-s1.a=23 这表明部分和数列s}是有界，因此级数∑收敛 n=1 n 综上所述：对于p级数∑当p>1收敛，当p≤1时发散

p 1, 因为当 1 1 , p p k x  故 1 1 1 d k p p k x k k    1 1 d k p k x x    从而级数的部分和 2) 若 时, 2 1 1 n n p k s  k   1 2 1 1 d n k p k k x x     1 1 1 d n p x x    1 1 1 1 p p n            1 1 ( 2,3, ), 1 n p     1 1 { } . n p n s n   这表明部分和数列 是有界,因此级数 收敛 1 1 1 1 p n p p p n   综上所述:对于 级数 当   收敛,当 时发散

调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在N∈N,对一切n≥N, 1 0 (1) 4n≥。，则∑4n发散： n n=1 ,p>则吃收欲 (2)

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , N N 对一切 n  N

例2.证明级数 n(n+1) 发散 证：因为 √nn+ (n=1,2,.） n+1 而级数 发散 根据比较审敛法可知，所给级数发散

证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1   n n  n 而级数     2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2

定理3.（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑4，∑n满足1im4n=l,则有 n=1 n=l n-→oVn (1)当0≤10,存在N∈N+,当n>N时， -1<6(1≠0) Vn

定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n   则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时

(l-E)Vn≤n≤(l+e)vn (n>N) 00 (1)当0N),由定理2知 若∑'n收敛，则∑4n也收敛 n=l n=l (③)当I=m时，存在NeN,当n>N时，4a>1,即 un >Un 0 00 由定理2可知，若之vn发散，则∑4n也发散， n=l 1n=

n n n (l  )v  u  (l  )v 由定理 2 可知   n1 nv 同时收敛或同时发散 ; (n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若   n1 nv 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n1 n 若 v 收敛