《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 无穷级数 12-8 一般周期函数的傅里叶级数

第八节 第十二章 一般周期的品款的傅里叶级款 一、 周期为21的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式

第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为2 l 的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式 第十二章

一、周期为21的周期函数的傅里叶级数 周期为21的函数f(x) 变量代换：=牙 周期为2π的函数F() 将Fe)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式

一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 周期为 2l 的函数 f (x) 周期为 2 的函数 F(z) 变量代换 l x z   将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式

定理.设周期为21的周期函数f(x)满足收敛定理条件， 则它的傅里叶级数展开式为 00 2 (在f(x)的连续点处) 其中 〔0.=77os"Taxa=0,12 6,-/)sn”Taxa=1,2

狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2) 在一个周期内只有有限个极值点 an  x l n x f x l b l l n ( )sin d 1    l 1 x l n x f x l l ( )cos d   (n  0,1, 2, ) (n 1, 2, ) 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶级数展开式为 (在 f (x) 的连续点处) 其中 定理

证明：令：=元x,则x∈[-1，刀变成z∈[-元，元]， 1 令Fa)=fw)=f.则 FE+2m)=jE+2)=5+2） -f()=FG) 所以F(z)是以2π为周期的周期函数，且它满足收敛定 理条件，将它展成傅里叶级数： Fe)=9+( 2 an cos nz+b sin nz） = (在Fz)的连续点处)

证明: 令 l x z   , 则 令 ( ) ,   lz f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) (       l z F z f ( 2l ) lz f    ( )   lz f 所以 且它满足收敛定 理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以2 为周期的周期函数

= F(z)cos nzd正 (n=0,1,2, 其中 bn=A∫Fe)sind (n=1,2,3,. 元X (n=0,1,2,.） (-f()sin (n=1,2,3,.） 0=1 (在f(x)的连续点处) 证毕

a F z nz z n ( )cos d 1      其中 b F z nz z n ( )sin d 1      令 l x z   l an 1  x l n x f x l b l l n ( )sin d 1    (n  0,1, 2, ) (n 1, 2, 3, ) (n  0,1, 2, ) (n 1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d   证毕

说明：如果f(x)为奇函数，则有 f(x)=∑bsin n元x (在f(x)的连续点处) n= 其中 n元X f(x)sindx (n=1,2,.） 如果f(x)为偶函数，则有 n兀x (在f(x)的连续点处) 2 (n=0,1,2,.） 注：无论哪种情况，在f(x)的间断点x处，傅里叶级数 都收敛于[f(x)+f(x*】:

说明: ( )sin d ( 1, 2,)    x n l n x b f x 其中 n (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) ( )cos d (  0,1, 2,)    x n l n x a f x 其中 n 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 都收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有

例1.交流电压E(t)=Esin@t经半波整流后负压消 失，试求半波整流函数的 傅里叶级数， —2元 解：这个半波整流函数 的周期是2，它在[，]上的表达式为 f0- =π≤t<0 Esino1,0≤<恶 4n= 2[°Esin@tcosn@1dl πJ0 Eo [sin(n+1)@t-sin(n-1)@i]dt

f (t) O t          π 0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t 例1. 交流电压 经半波整流后负压消 失,试求半波整流函数的 解: 这个半波整流函数  2π ,它在 an      π 0 Esin t cos n t d t 傅里叶级数. 的周期是 上的表达式为 π  2 2  π π π

E@ a1 2a-25L-as2r] =0 2π J0 0 n≠1时 Eo an 2π Jo [sin(n+1)@t-sin(n-1)@t]dt Ew 2πL (n+1)o E 2元L n+1n+1n-1 [(-)-1-1]E 0 n=2k+3 2E (k=0,1,.） (n2-1)元 ，n=2k (1-4k2)π

0 π   0    π 0 sin 2 t d t n 1时          π 0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t   2 E an       n t n   cos( 1) ( 1) 1     2 π E 0 π      n t n   cos( 1) ( 1) 1                  1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 2π 1 n n n n E n n   ( 1) π ( 1) 1 2 1      n E n  , (1 4 ) π 2 2 k E  n  2k

@Esinot.sin notdt 0 [cos(n-1)@t-cos(n+1)oi]di 2元 b1=2 Esinot.sinotdt 0 E@ 0-c0s20)d=2元 sin 2@t E 1 2πJ0 20 2 0 n>1时 Eo bn sin(n-1)@t sin(n+1)ot =0 2π (n-1)@ (n+1)o

b Esin t sin t d t π π0 1         n t n t t E cos( 1) cos( 1) d 2π π0               ( 1) sin( 1) 2π n E n t bn 0 ( 1) sin( 1) 0π       nn t 0π 2 sin 2 2π         t t E 2E  n > 1 时

由于半波整流函数f(t) 在(-∞，十0)上连续，由收 2元 收敛定理可得 EE 2E f(t)= os2kot 2 元 k= 42 交流部分 (-00<t<+0 直流部分 说明：上述级数可分解为直流部分与交流部分的和 2k次谐波的振幅为A4,三 2E1 k越大振幅越小 元4k2-1 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了

由于半波整流函数 f ( t )   π ( ) E f t t  E sin 2 k t k E k cos 2  1 4 1 π 2 1  2    直流部分 说明: 交流部分 由收 收敛定理可得 2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小, 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f (x)了. 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. f (t) 2 O 2 t   π π π