《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 多重积分 10-1 二重积分的概念与性质

第十章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学{ 曲线积分 曲面积分

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分

第一为 第十章 二重积分的桡念与性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质

三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第十章

=f,y以 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体： 底：xOy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 1 侧面：以D的边界为准线， 母线平行于z轴的柱面，求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想 “大化小，常代变，近似和，求极限

解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D z=f(x,y) x O 母线平行于 z 轴的柱面, y

E=f(x,y) 1)“大化小-分割” 用任意曲线网分D为n个区域 △o1,△o2,.,△om f(5,) 以它们为底把曲顶柱体分为n个 小曲顶柱体 2)常代变-取近似” 在每个△o中任取一点(5,7，)，则 AV,≈f(5,7:)△o；(i=1,2,.,n 3)“近似和” V=2△y=J5,nAa

1)“大化小-分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变-取近似” 在每个 3)“近似和” 1 ( , ) n i i i i f        ( , ) ( 1,2, , ) V f i n i i i i        中任取一点 则 小曲顶柱体 D z=f (x,y) x O y

4)“取极限” 定义△o,的直径为 2(△o,)=maxP2B,∈Ao} 令元=max{2(△o,)} 1≤i≤n V =lim 2s0 ∑f5,n,)△o

4)“取极限”    ( ) max     i i  PP P ,P 1 2 1 2  令   1    max ( )     i i n 0 1 lim ( , )          n i i i i V f

2.平面薄片的质量 有一个平面薄片，在xOy平面上占有区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M. 若4(x,y)=4(常数)，设D的面积为o,则 M=u.o 若4(x,y)非常数，仍可用 大化小，常代变，近似和，求极限” 解决， 1)“大化小-分割” 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,△o2,.,△Gn, 相应把薄片也分为小块

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M    若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决. 1)“大化小-分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小块 . D y O x

2)“常代变-取近似” 在每个△o,中任取一点(5，n,),则第i小块的质量 △M,≈u(5,7)△o(i=1,2,.,n 3)“近似和” M=∑AM,=2u(5,n)aa 4)取极限” (5,7,） △ 令元=max{2(△o,)} 10

y x 2)“常代变-取近似” 在每个 i 中任取一点 ( , ),  i i 3)“近似和” 1     ( , )     n i i i i 4)“取极限”   1    max ( )   令   i i n0 1 lim ( , )           n i i i i M  i ( , )  i i 则第 i 小块的质量 O

两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 “大化小，常代变，近似和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： V=lim 1>0 ∑f5,n)Ao 平面薄片的质量 M=lim∑4(5,7，)△o -0

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 0 1 lim ( , )          n i i i i V f 0 1 lim ( , )           n i i i i M 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:

二、二重积分的定义及可积性 定义：设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数， 将区域D任意分成n个小区域△o(i=1,2,.,n) 任取一点(5,7)∈△o,若存在一个常数I,使 I=lim 2→0 ∑f5,7)AgJ∬f,da 则称f(x,y)可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 (x,y)do x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素

二、二重积分的定义及可积性 定义: 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I为 f (x, y) 在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数

如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△ok=△xk△y%,因此面积 元素do也常记作dxdy,二重积分记作 ∬x,y)dxdy 引例1中曲顶柱体体积 r=∬/x,do=∬fx,)dxdy 引例2中平面薄板的质量 M=∬(g,mdo=μk.y)dxdy

( , )d D V f x y    引例1中曲顶柱体体积: ( , )d D M x y     引例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y) 在D上可积, 元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y  分区域 D , 这时 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 ( , )d d D  f x y x y  ( , )d d D   x y x y  y O x