《高等数学》课程教学资源（空间解析几何教学课件）5-5空间曲线及其方程_5-5空间曲线及其方程

第四节 曲孩与曲面 四、空间曲线的一般方程 五、空间曲线的参数方程 六、空间曲线在坐标面上的投影 机动目 下页返回结束

第四节 四、空间曲线的一般方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线与曲面 六、空间曲线在坐标面上的投影 五、空间曲线的参数方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线， 其一般方程为方程组 [F(x,y,2)=0 G(xy,=)=OLF(.y=0 G(x,y,z)=0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C

空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线C. S2 L G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 S1 x z 1 y o C 2 一、空间曲线的一般方程

又如，方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C

又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. y x z a

单选题1分 ⊙设置 9 4 表示 =2 双曲柱面与平面x=2的交线 双曲柱面 双叶双曲面 单叶双曲面 提交

表示 双曲柱面与平面x=2的交线 双曲柱面 双叶双曲面 单叶双曲面 A B C D 提交 单选题 1分

填空题2分 可设置 x22 思考题：1双曲抛物面 =2z(p>0,q>0） q 与xoy面的交线是[填空1] 2.方程x2-4y2+z2=25表示 [填空2]（怎样 是曲线)x=3 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 作答

思考题：1双曲抛物面 与xoy面 的交线是 [填空1] 2.方程 表示 [填空2] （怎样 是曲线） 作答 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 填空题 2分

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数的函数： x=x(t) y=y(t Z=Z(t) 称为空间曲线的参数方程 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 x=acos01令0=ot,b= x=acos0 y=asinot y asin z=vt z=b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距

z x y o 将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数: 称为空间曲线的参数方程.    v 令 = t , b = h = 2 b 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 ,称为螺距 .  M 二、空间曲线的参数方程

◆例1将下列曲线化为参数方程表示： x2+y2=1 z=a2-x2-y2 2x+3z=6 +y-ax=0 解：(1)根据第一方程引入参数，得所求为 x=cost y=sint (0≤t≤2π) Z= 5(6-2c0st) (2)将第二方程变形为 x-2+y2=, 故所求为 x=号+号c0s y=号sint (0≤t≤2π) 2=aV2- cost

将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数, (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 ◆例1

x=(t) ◆例2 求空间曲线T:y= w(t) (≤t≤阝)绕轴旋转 z=@(t) 时的旋转曲面方程. 解：任取点M1(p(t),W(),o(t)e「，点M绕轴旋转， 转过角度后到点M(x,y,z),则 x=√0(t)+y2(t)cos0 a≤t≤B y=vo2()+w2(t)sin0 0≤0≤2π z=0(t) 这就是旋转曲面满足的参数方程

求空间曲线: 绕z轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: ( ( ), ( ), ( )) , 任取点M1  t  t  t  点M1绕z轴旋转, 转过角度后到点 则 这就是旋转曲面满足的参数方程 . ◆例2

x=1 例如，直线 y=1绕轴旋转所得旋转曲面方程为 z=21 x=V1+2 cos 0 y=1+2 00<1<+0 sinO 0≤0≤2π z=2t 消去t和8，得旋转曲面方程为 4(x2+y2)-z2=4

例如,直线 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 消去t 和, 得旋转曲面方程为

x asino 又如，xoz面上的半圆周 y=0 (0≤p≤π) z=acos 绕轴旋转所得旋转曲面（即球面）方程为 x=asino cose 0≤p≤π y=asino sin 0≤0≤2π z=acos 说明：一般曲面的参数方程含两个参数，形如 x=x(s,t) y=y(s,t) z=z(S,1)

绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如,xoz面上的半圆周 说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如