《高等数学》课程教学资源（知识拓展）数学的三大危机

数学三大危机 第一次数学危机发生在公元前500年左右，是关于无理数的，这次 危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻。希帕索斯发现了一个腰为1的等 腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度 比)来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理 论。 第二次数学危机发生在十七八世纪，是关于微积分的，微积分的合 理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。 十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为 牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一经问世，就显示出它的非凡威 力。许多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿， 还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。这次危机的根本问 题是微分中关于无穷小的定义，这个无穷小不管是牛大师还是莱大 师，对它的定义都很粗糙，甚至于有时候还变来变去，对于一向以严 谨著称的数学，显然是很不合适的。后来，经过柯西（微积分收官人） 用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使 数学大厦变得更加辉煌。 第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基 础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。罗素悖论：S由一切不是 自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明 有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话

数学三大危机 第一次数学危机 发生在公元前 500 年左右，是关于无理数的，这次 危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻。希帕索斯发现了一个腰为 1 的等 腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度 比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理 论。 第二次数学危机 发生在十七八世纪，是关于微积分的，微积分的合 理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。 十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为 牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一经问世，就显示出它的非凡威 力。许多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿， 还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。这次危机的根本问 题是微分中关于无穷小的定义，这个无穷小不管是牛大师还是莱大 师，对它的定义都很粗糙，甚至于有时候还变来变去，对于一向以严 谨著称的数学，显然是很不合适的。后来，经过柯西（微积分收官人） 用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使 数学大厦变得更加辉煌。 第三次数学危机 发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基 础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。罗素悖论：S 由一切不是 自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明 有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话