《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）函数的求导法则

山东农业大 率数学 主计 方本堂 §2.2函数的求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 §2.2 函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式

一、 四则运算求导法则 定理1.函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 则()及v()的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在点x可导，且 (I)[u(x)±v(x)]'='(x)士v'(x)→ (2)[(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)→ [g u(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (v(x)  0) 则

主计 方本堂 (I)(u±v)'=±y' 证：设f(x)=(x)士v(x),则 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) h-0 h [u(x+h)±v(x+h)]-[u(x)±v(x)] h-→0 h lim 4(x+h)-()±im v(x+h)-v(x) h→0 h h-→>0 h =u'(x)±v'(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形.例如， 例如，(u+v-w)'=u+v'-w 返回

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u  v) = u  v  f (x) = u(x)  v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 +  + −  = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + −  → = u (x)  v (x) 故结论成立. 例如, 返回

(2) (uv)'=uv+uv' 证：设f(x)=u(x)v(x),则有 f')=lim+分-f)=lim (x+h)v(x+h)-u(x)v(x) h-→0 h h-→0 h ((x)+△W)v(x)+△v)-u(x)v(x) =lim h->0 h △u△y =lim △uw(x) +lim u(x)Av+lim h→0 h h-→0 h -→0 h =u'(x)v(x)+u(x)p'(x) 故结论成立. 推论：1)(Cu)'=Cu(C为常数) 2)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw' 返回

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) (uv) = u  v +uv  证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → 故结论成立. = u (x)v(x) + u(x)v (x) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu  u  vw+ uv  w+ uvw  ( C为常数 ) 0 ( ( ) )( ( ) ) ( ) ( ) lim h u x u v x v u x v x → h +  +  − = 0 ( ) lim h uv x → h  = 0 ( ) lim h u x v → h  + 0 lim h u v → h   + 返回

苏本 求导法则： (utvy=utv,(w)'-uv+w,(y=4v-u v2 例1fx)=x+4cosx-sin号，求f")及f(). f(x)=(x3)+(4cosx)-(sin-)=3x2-4sinx, f-4 例2y=ex(sinx+cosx),求y', y'=(e)'(sinx+cos x)+e*(sin x+cos x)" =e*sin x+cosx)+e*(cos x-sinx)=2e*cos x. 例4y=secx,求y. y-(ccxy-(o)(Yco cos2 x =sec x tan x. cos2 x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f x x x ) 3x 4sin x 2 ( )=( 3 )+(4cos )−(sin  = 2 − 解  例 例 2 1 2 ( ) 3 4cos sin  f x =x + x−  求 f (x)及 ) 2 (  f   4 4 3 ) 2 ( = 2 −  f  例2 y=e x (sin x+cos x) 求y =2e xcos x 解 y=(e x )(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+e x (cos x −sin x) (uv) =uv  (uv) =uv+uv  2 ( ) v u v uv v u  −  求导法则  =  f x x x ) 3x 4sin x 2 ( ) ( ) (4cos ) (sin  = 3 + −  = 2 −  f x x x ) 3x 4sin x 2 ( ) ( ) (4cos ) (sin  = 3 + −  = 2 −   例4 y=sec x 求y x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (  −    =  =  = x x 2 cos sin = =sec x tan x  x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (  −    =  =  = x x 2 cos sin = =sec x tan x 

二、反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f-(y)的反函数，(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)≠0则 -i 或 [f(y)] d y 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 Ay=f(x+△x)-f(x)≠0，所以 x △x △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y→0，因此 "(x)=lim Ay lim- △x→0△x 4y-→0 △y [f(y)]

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1   − 且 f y d d = x y 或 x  0, y = f (x + x) − f (x)  0, y x  =  所以 y x   x → 0时必有y → 0, x y f x x    =  →0 ( ) lim lim  →0 = y y x   y x d d = 1 [ ( )] 1  − f y 1 1 [ ( )] 1  − f y 1 1 则

山东农业大 方本 反函数的求导法则：U-() 例5求(arcsinx)'及(arccos x)'. 解因为y=arcsinx是x=siny的反函数，所以 (arcsinx)'=1 1 1 1 (siny)cosy 1-sin2y 1-x2 类似地有：((arccos)=-2 例6求(arctanx)'及(arccotx)'. 解因为y=arctanx是x=tany的反函数，所以 (arctanx)= 1 1 (tany)'sec2y 1+tan2y1+x2' 类似地有： (arccotx)'=- 1+x2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  类似地有 1 2 1 (arccot ) x x +  =−  例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = =   =  类似地有 1 2 1 (arccos ) x x −  =−  ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x  反函数的求导法则: −  = 

三、复合函数求导法则 定理3.u=g(x)在点x可导，y=∫()在点u=g(x) 可导.则 复合函数y=∫[g(x)】在点x可导，且 dy=f(u)g(x) d 证：y=f(u)在点u可导，故lim △y=f'(u) △u-→0△W ∴.△y=f'(u)△u+a△u（当△1→0时a→0) 故有 Ay =f"(u)Ax (△x≠0) △x -o+u】]-gw dx

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 在点 x 可导,     =  → lim x x 0 y x y x    =  →0 lim d d 三、复合函数求导法则 定理3. 在点 可导. 复合函数 且 ( ) ( ) d d f u g x x y =   在点 x 可导, 证:  y = f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u =     → y = f (u)u +u （当 时 ) 故有 = f (u)g (x) u y   = f (u) + ( ) (  0)   +   =    x x u x u f u x y  则

推广：此法测可推广到多个中间变量的情形 1 例如，y=f(u),u=p(v),v=(x) dy dy du dv u dx du dy dx =f'(u)0'(v)w(x) X 关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如, = x y d d = f (u) (v)(x) y u v x  u y d d  v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形

复合函数的求导法则： =faωg)或-少 dx dx du dx 7)m品，求 dx 解 通数y=s加 2x是由)sn4,u=复合而成的， 因此 dydy du =cosu.20+r2)2P-20-x2c0s2x dx du dx (1+x2)2 (1+x2)20S1+x2 例8.求下列导数：（①）(x“);(2)(x). 解：(）(y=(eany=ehr(unx=-华=u (2)(x*)=(ex Inx)'=ex Inx.(xlnx)'=x*(Inx+1)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 f (u) g (x) dx dy =    或 dx du du dy dx dy 复合函数的求导法则: =   例 10 1 2 2 sin x x y + =  求 dx dy 例7  解 函数 1 2 2 sin x x y + = 是由 y=sin u  1 2 2 x x u + = 复合而成的 因此 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − 因此 =  =   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − 因此 =  =   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − =  =   例8. 求下列导数: 解: (1) ( ) ( ) ln  =  x x e   ( ln x) x   −1 =   x ( ) ( ) ln  =  x x x x e (xln x) x (2) = x (ln x +1)