《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）连续函数的运算和初等函数连续性

山东农业大 主 方本堂 第九节连续函数的运算和初等 函数连续性 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第九节连续函数的运算和初等 函数连续性 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性

一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例如，sinx,cosx连续 >tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调 递增（递减）： (证明略) 例如，y=sinx在[-号，]上连续单调递增， 其反函数y=arcsinx在[一l,1]上也连续单调递增

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调

又如，y=e'在(-0，+oo)上连续单调递增， 其反函数y=nx在(0，+oo)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的」 证：设函数u=(x)在点连续，且(xo)=40· 函数y=f(x)在点uo连续，即limf(u)=f(uo) 1>10 于是 limf[(x)]=limf(u）=f(uo)=f[p(xo)】 x→x0 u→10 故复合函数∫[(x)]在点x连续

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 ( ) . 0 u0  x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f  x 故复合函数 又如, 且 即

1 例如，y=sin二是由连续函数链 y=sinM,H∈(-0，+o0) l=- r∈R* 复合而成，因此y=sin在x∈R上连续 y 1 y=sin X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin

例1.设f(x)与g(x)均在[a,b]上连续，证明函数 o(x)=max{f(x),g(x) w(x)=min{f(x),g(x) 也在[a,b]上连续 证：p(x)=2[f(x)-g(x)川+f(x)+g(x)] w(x)=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x) 根据连续函数运算法则，可知p(x),w(x)也在[a,b]上 连续

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: f (x) − g(x) − f (x) − g(x) 根据连续函数运算法则 ,可知 也在 上 连续

二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如， y=V1-x2的连续区间为[-1,1】（端点为单侧连续） y=Insinx的连续区间为(2nπ，(2n+1)π)，n∈Z 而y=cosx-1的定义域为x=2nπ，n∈Z 因此它无连续点

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y = lnsin x 的连续区间为 y = cos x −1 的定义域为 因此它无连续点 而

山东农业大 等数学 主讲 例2.求lim loga(1+x) x→0 x 解：原式=imo(+y=loge=na x→0 例3.求lim a"-1 x→0 解：令t=a-1,则x=loga(1+t), 原式=lim, Ina 1>0 loga(1+t) 说明：当a=e,x→0时，有 In(1+x)~x ex-1~x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 = −1, x t a 则 x log (1 t), = a + 原式 log (1 ) lim 0 t t a t + = → 说明: 当 时, 有 ln(1+ x) ~ −1 ~ x x e x

3 例4.求1im(1+2x)simx x→0 解： 原式=lime sinx 3n1+2x) x→0 3.2x =limex =e6 x-→0 说明：若limu(x)=0,limv(x)=oo,则有 x→x0 x→X0 lim v(x)In[1+u(x)] lim[1+4(x)])= e x->ro lim v(x)u(x) =e X→x0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 求 解: 原式 ln(1 2 ) sin 3 x x + x 3 说明: 若 lim ( ) 0, 0 = → u x x x 则有  +  = → ( ) lim 1 ( ) 0 v x x x u x lim ( ) , 0 =  → v x x x e = e lim ( ) ( ) 0 v x u x x→x  2x

例5.设f()= x2, x≤1 X, x≤1 2-x, x>1 p(x)= x+4, x>1 讨论复合函数f[p(x)]的连续性 解： x≤1 f[p(x】]= 2-ox),(x)>1-2-x,x>1 x≠1时[p(x)】为初等函数，故此时连续，而 lim f[o(x)]=lim x2=1 x→1 x->1 lim f[o(x)]=lim (-2-x)=-3 x→1+ x->1 故f[p(x)]在点x=1不连续，x=1为第一类间断点

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂    +   = 4, 1 , 1 ( ) x x x x 例5. 设  x 解: 讨论复合函数 的连续性 . = , 1 2 x x  − 2 − x , x 1 故此时连续; 而 lim [ ( )] 1 f x x  → − 2 1 lim x x→ − = =1 lim [ ( )] 1 f x x  → + lim ( 2 ) 1 x x = − − → + = −3 故 x = 1为第一类间断点 . ( ), ( ) 1 2  x  x  2 −(x), (x) 1 x 1时 f [(x)]为初等函数, 在点 x = 1 不连续

内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 初等函数在 定义区间内 连续函数的反函数连续 连续 连续函数的复合函数连续 说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性