《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）数列的极限

主进 方本 第二节 数列的极限 一 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节 数列的极限 一、 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质

东 一、数列极限的定义 概念的引入 计算圆的面积 正六边形的面积A 正十二边形的面积A2 。 。● 正6×2”-1形的面积Am A1,A2,A3,.,A,.→S

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、数列极限的定义 概念的引入 正六边形的面积A1 R   正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 ,  , An ,  S 正十二边形的面积A2 计算圆的面积

1.数列的概念 按照某一法则，对每一neN+,对应着一个确定的实数 x,则得到一个序列 X13X22X3)···,Xn3· 这一序列叫做数列，记为{x},第n项xn叫做数列的一般项 2,4,8,.,2,.;1,-1,1,.,（-1)+1,. 1111 2'4'82n. 2,14.n+(-1)-1 22’3 注意：(1)数列对应着数轴上一个点列可看作一动 点在数轴上依次取X1,X2,.,Xn,. X3 X1 x2 X4 n (2).数列是整标函数xn=f(n),n∈N+

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1. 数列的概念 按照某一法则, 对每一nN+ , 对应着一个确定的实数 xn , 则得到一个序列 x1 , x2 , x3 ,    , xn ,    , 这一序列叫做数列,记为{xn }, 第n项xn叫做数列的一般项. 2, 4, 8,    , 2 n ,    ; 1, −1, 1,    , (−1) n+1 ,    . , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1  n  , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1   n n n− + − 注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2  xn  1 x3 x x2 4 x n x (2).数列是整标函数 x f (n), n = . + n N

引 观察数列1+-}当n→∞ 时的变化趋势 通过观察：当m无限增大时，x,=1+) 无限接近于1. 问题：“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它 x-1=(-1)-=1 nn 给定 由1100时，有x,-110000时，有x,-10，只要n>N(=日时，有x-1<e成立

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过观察:当n无限增大时, n x n n 1 ( 1) 1 − − = + 无限接近于1. 引例 观察数列 } ( 1) {1 1 n n− − + 当n →  时的变化趋势. , 100 1 给定 , 100 1 1  n 由 只要 n  100时, , 100 1 有 xn − 1  , 10000 1 , 有 xn − 1  10000 1 给定 只要 n  10000时, 给定   0, ]) , 1 只要 ( [ 时  n  N = 有 − 1  成立. xn  xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = −

2.数列极限的通俗定义 当n无限增大时，如果数列{xm}的一般项xn无限接近 于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限，或称数列{xn}收 敛a,记为 lim xn=a 当n无限增大时，xn无限接近于a. 一当n无限增大时，xm-a无限接近于0 →当n无限增大时，xna可以任意小，要多小就能有多小. 一当n增大到一定程度以后，x,-d能小于事先给定的任意 小的正数， 因此，若n增大到一定程度以后，xna能小于事先给 定的任意小的正数，则当n无限增大时，x,n无限接近常数a

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn }的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn }的极限, 或称数列{xn }收 敛a, 记为 xn a n = → lim . 当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn -a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn -a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn -a|能小于事先给定的任意 小的正数. 因此, 若 n 增大到一定程度以后, |xn -a|能小于事先给 定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近常数a

3.数列极限的精确定义 设{xm}为一数列，如果存在常数a,对于任意给定的正 数，总存在正整数W,使得当n>W时，不等式 lx,-a |o) n-→oo 如果数列没有极限，就说数列是发散的.习惯上也说 limx,不存在 n→0 极限定义的简记形式 limx=a台e>0,3N∈N+,当n>N时，有xe-ak&. n→o∞

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3. 数列极限的精确定义 设{xn }为一数列, 如果存在常数a,对于任意给定的正 数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xn−a |< 都成立, 则称常数a是数列{xn }的极限,或者称数列{xn }收 敛于a, 记为 lim n n x a → = 或 (n ) n x a → →  如果数列没有极限,就说数列是发散的. 习惯上也说 lim n n x → 不存在 极限定义的简记形式  0, NN+ , 当nN时, 有|x lim n−a| . n n x a → =

导效 主进 方本军 注： (1).ε的任意性，它是描述xn与a的无限接近程度 (2).N与有关，但不唯一」 (3)几何解释： 28 a-8 a+8 X2 X1 XN+1 XN+2 3 当n>N时，所有的点xn都落在开区间(a-s,a+8,只有 有限个（至多只有N个）落在这区间以外 (4)数列极限的定义未给出求极限的方法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注： (1). 的任意性，它是描述xn 与a 的无限接近程度. (2). N 与ε有关，但不唯一. (3) 几何解释: x 1 x 2 x xN +1 xN +2 3 x 2 a −  a +  a (4).数列极限的定义未给出求极限的方法. 当 n>N 时,所有的点xn 都落在开区间(a-,a+) ,只有 有限个(至多只有N个)落在这区间以外

例1证明 lim n+0 =1. n-→ao n 证明、 E>0,取N=,则当>N时，就有 n 即im n+1)=1 1)o0 分析 I,-qj= +)1-1 1 对于任意>0，要使-lK6,只要11

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证明 例1 证明 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 对于任意 >0,要使|xn-1|N 时,就有 −   + − − 1 ( 1) 1 n n n 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 即

主计 苏本堂 例2证明limx,=lim 1)” =0. n→0 n∞(n+1)2 证明e>0,取N=上-1， 则当n>N时，就有 Ix-a 1 1 (n+102 0,(设e二-1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2 证明 n 2 ( 1) lim lim 0. ( 1) n n n x → → n − = = + 分析 证明 xn − a 0 ( 1) ( 1) 2 − + − = n n 2 ( 1) 1 + = n . 1 1 +  n   0, (设   1 ), 要使 , 1 1   n + 或 1, 1  −  n | | , x a n −   只要   0, 1 N [ 1],  取 = − 则当n>N 时,就有 xn − a 2 ( 1) 1 + = n 1 . n 1    + 所以 0. ( 1) ( 1) lim 2 = + − → n n n

例3设g←1，证明等比数列 1,9,q.,q-1,· 的极限是0. 匠男G>0w-导 则当n>W时，就有 x-0l=lgl"0,要使|xn-aK6,只要g1+

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 设|q|N 时,就有 ln [1 ], ln N q  取 = + 1 0 . n n x q  − − =  所以 lim 0. 1 = − → n n q