《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）高阶导数

高等数学 §2.3高阶导数 一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念 §2.3 高阶导数

一、高阶导数的概念 引例：变速直线运动s=s(t) ds 速度 V= 即v=s dt 加速度 a- 即 a=(s')1

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 一、高阶导数的概念 s  s(t) 速度 即 v  s  加速度 , d d t s v  t v a d d  ) d d ( d d t s t  即 a  (s ) 引例：变速直线运动

定义.若函数y=f(x)的导数y'=f'(x)可导，则称 f'()的导数为f的二阶导数，记作y或d),即 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推， n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 y",y4④，、 .,ym 或 d"y dx3, dx4 dxm

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 定义. 若函数 y  f (x) 的导数 y   f (x) 可导, 或 , d d 2 2 x y 即 y   ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y  类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , y  , , (4) y ( ) , n  y 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , f (x)的导数为 f (x)的二阶导数 , 记作 y  依次类推 , 分别记作 则称

y"=0yy,f"=[f(r,号 品尝 例1证明：函数y=V2x-x2满足关系式y3y”+1=0. 2-2x 1-x 证明因为y=2r-x22分 -022 2-2x y" 2x-x2 -2x+x2-(1-x)2 (2x-x2W(2x-x2) (2x-x2)2 所以y3y'+1=0

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y         所以y 3y10 y (y)  f (x)[f (x)]  ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y   2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y          (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x     证明 例1 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y         (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x     (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x     证明 函数 2 y  2xx 满足关系式 1 0 y 3 y   

例2.设f"(x)存在，求下列函数的二阶导数 d'y dr2 (1)y=f(e);(2)y=ef) 解：(1)少=M(eXeY=fee dx =eeexey-f"(eYeYe+(ee' dx2 f"(e")e+f(e")e* (2) d-ef"(x) d diy-Lf"(x+ef"(x) dr2

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设 f (x) 存在，求下列函数的二阶导数 2 2 . d y dx 解:（1） dy dx 例2. （1） ( ); x y  f e （2） ( ). f x y  e ( ) x x ( )( )  f  e e x x  f  e e  2 2 d y dx [ ( )] ( )( ) x x x x  f  e  e  f  e e  ( )( ) ( ) x x x x x  f  e e  e  f  e e 2 ( ) ( ) x x x x  f  e e  f  e e （2） dy dx ( ) ( ) f x  e f  x 2 2 d y dx ( ) 2 ( ) [ ( )] ( ) f x f x  e f  x  e f  x

例3.设y=a0+a1x+a2x2+.+anx”,求ym） 解：y=a,+2a2x+3a3x2+.+nan”- y”=2la2+3.2a3x+.+nn-10anx"-2 依次类推，可得 ym）=nlan 思考：设y=x“(u为任意常数)，问ym)=? (x“)m=4(u-10(u-2)-(u-n+1)x-

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设 , 2 0 1 2 n n y  a  a x  a x  a x 求 . (n) y 解: y   a1  2a2 x  1  n n  na x y   2 1a2  a x3 3 2 2 ( 1)     n n  n n a x 依次类推 , n n y n!a ( )   2 3 3a x 例3. 思考: 设 ( 为任意常数),  y  x ? ( )  n y n n x n x         ( ) ( 1)( 2) ( 1) ( )  问 可得

例4.设y=eax,求ym) 解：y'=ae,y"=a2ea,y"=a3e, y(n)=aneax 特别有：(e)m）=e 例5.设y=ln(1+x),求ym) 解：y=,1 0+2,=(←102 12 1+x)3 ，ym=(1)-1n- (1+x)” 规定0！=1

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 n (1 x) , , y   a 3 e ax  例4. 设 求 解: 特别有: 解: (n 1)! 规定 0 ! = 1 , ax y  e . (n) y , ax y   ae , 2 ax y   a e n n ax y  a e ( ) x n x e e ( ) ( ) 例5. 设 y  ln(1 x ) , 求 . (n) y , 1 1 x y    , (1 ) 1 2 x y     , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y       (n) y 1 ( 1)   n 

例6.设y=sinx,求ym) 解：y'=cosx=sin(x+) y"=cos(x+)=sin(x) =sin(x+2·) y"=cos(x+2·)=sin(x+3·) 一般地，(sinx)m)=sin(x+n) 类似可证： (cosx)m)=cos(x+n·)

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例6. 设 y  sin x , 求 . (n) y 解: y   cos x sin( ) 2   x  cos( ) 2  y   x  sin( ) 2 2    x   sin( 2 ) 2   x   cos( 2 ) 2  y   x   sin( 3 ) 2   x   一般地 , x  x  n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x  x  n (cos ) cos( ( ) ) 2  n  ) 2  n 

人 例7.设f(x)=3x3+x2x,求使m(0)存在的最高 阶数n=2 分析： f0)=4x x≥0 2r3 x<0 2x3-0 .f'(0)=lim =0 x→0 X 12x2,x≥0 (0)=lim 4x3-0 6x2,x<0 x→0 又f"(0)=lim 6r2 =0 24x,x≥0 x→0 12x2 :f"(x)=12x,x<0 f4"(0)=lim =0 x→0+ 但是f"0)=12,f"(0)=24,∴∫(0)不存在

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例7. 设 ( ) 3 , 3 2 f x  x  x x 求使 (0) (n) f 存在的最高 分析:    f (x)  4 , x  0 3 x 2 , x  0 3 x x x f x 2 0 (0) lim 3 0         0 x x f x 4 0 (0) lim 3 0        0 x  0  x  0    f (x)  12 , 2 x 6 , 2 x f (0)  x x x 2 0 6 lim    0 f (0)  x x x 2 0 12 lim    0     f (x)  但是 (0) 12 ,  f (0)  24 ,  f  f (0) 不存在 . n  _2_ . 又 24x , x  0 12x , x  0 阶数

山东农业大 哥等数 二、高阶导数的运算法则 设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则 1.(u±y)m）=um)±vm) 2.(Cu)m)=Cum)(C为常数) 3p0=o+m+g +.+nn-少-n-k+n-kn k! ++uv(n)） 莱布尼兹(Leibniz)公式

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 ( ) 1. ( ) n u  v (n) (n)  u  v ( ) 2. ( ) n Cu (n)  Cu (C为常数)  ( ) 3. ( ) n u v u v  (n) 2! n(n 1) ! ( 1) ( 1) k n n  n  k         u v (n 2) (n k ) (k ) u v  (n)  uv 莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 u  u(x) 及 v  v(x)    nu v (n 1)