《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）极限存在准则 两个重要极限

山东农大 主讲人：苏本 第六节极限存在准则两个重要极限 一、准则及第一个重要极限 二、准则及第二个重要极限

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六节极限存在准则 两个重要极限 一 、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限

等数学 主讲 本 一、准则及第一个重要极限 准则I 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件： (1yn≤xnn(n=1,2,3,··)月 (2)lim yn=a,lim zn=a, n->oo 那么数列{xn}的极限存在，且lim=a.→ n>0 准则 如果函数孔x)、g(x)及h(x)满足下列条件： (1)g(x)x)h(x), (2)lim g(x)=4,lim h(x)=4, 那么lim孔x)存在，且limx)=A

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、准则I及第一个重要极限 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3    ) 准则 I 准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2) yn a n = → lim  zn a n = → lim  那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim 

准则I 如果数列{xn}、y}及{zn}满足下列条件： (1yn≤xn≤n(n=1,2,3,·.),(2)lim yn=a,lim2n=a, n-→o 那么数列{xn}的极限存在，且limx=a. 证：yn→4，zm→， 廿ε>0，N1>0,N2>0,使得 当n>N时恒有yn-4N2时恒有zn-dN时，恒有 0-8o0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证 y a, z a,  n → n →    0, N1  0, N2  0, 使得 , 1 n  N y − a   当 时恒有 n , 2 n  N z − a   当 时恒有 n 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3    ) 准则 I (2) yn a n = → lim  zn a n = → lim  那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim  上两式同时成立, a −   y  a + , 即 n a −   z  a + , n 当n  N时, 恒有 a −   y  x  z  a +  , n n n 即 x − a   成立, n lim . n n x a → = 取N= max{N1 , N2}

山东农业大 等数学 主人：苏本堂 第一个重要极限 sin x 1.lims x→0 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积0 x→>0x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 sin x  2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2  x  x  x  x  (0, ) 2   x 时， (0 ) 2  显然有  x  △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 第一个重要极限

注 当00 返回

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 当 2 0   x  时 0  1− cos x =1− cos x 2 2sin2 x = ( ) 2 2 2 x  2 2 x = lim(1 cos ) 0 0  − = → x x 注 返回

山东农业大 等数学 主人：苏本堂 第一个重要极限 lim smx=1. x→0X 注： 在极限lim sin)中，只要a)是无穷小，就有 0x(x) sina(x)=1. a(x) 这是因为，令=a(x),则u→0，于是 lim sina(x) 2=lim smu=1. a(x) u-→01L

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注: 这是因为 令u=a(x) 则u→0 于是 在极限 ( ) sin ( ) lim x x   中 只要(x)是无穷小 就有 1 ( ) sin ( ) lim = x x    ( ) sin ( ) lim x x   1 sin lim 0 = = → u u u  第一个重要极限 1 sin lim 0 = → x x x 

东液 tanx 例1.求lim x→0 X 解：lim tan x sinx 1 x->0 X 1i →0八X COSx sinx 1 lim lim=1 x-→ )X x→0C0Sx 例2.求lim arcsinx x→0 x 解：令t=arcsinx,则x=sint,因此 原式=lim.t t 1 =lim =1 t→0slnt t→0 sint t

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求 解: x x x tan lim →0       = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0  =1 例2. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1

山东农少大 主进 方本 例3求lim 1-cosx x>0 x2 2sin2 Sin2 解 lim 1-cosx lim, 2 2 lim x→0 x2 x->0 x2 2x0 例4 lim 3x3+x1 sin- 2x2+1 解 1 lim 3x3+x x(3x2+1)1 sin-=lim →0 2x2+1 2x2+1 X 1 =lim (3x2+1) 3 X→0 2x2+1 xX 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ 解 = 例 例 23 求 2 0 1 cos lim x x x − →  2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 例4 3 2 3 1 lim sin x 2 1 x x → x x + + 解 3 2 3 1 lim sin x 2 1 x x → x x + + 2 2 (3 1) 1 lim sin x 2 1 x x → x x + = + 2 2 (3 1) 1 1 lim (sin / ) x 2 1 x → x x x + = + 3 2 =

东液 二、准则及第二个重要极限 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限， 准则的几何解释 以单调增加数列为例，数列的点只可能向右一个方向 移动，或者无限向右移动，或者无限趋近于某一定点A,而 对有界数列只可能后者情况发生： XI X2X3 X4X5 A M 准则Π'设函数f(x)在点x的某个左领域内单调粗有界 则f(x)在x的左极限f(x,)必定存在

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、准则II及第二个重要极限 M 准则II 单调有界数列必有极限 准则II的几何解释 x1 x2x3 x4x5 xn A 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向 移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而 对有界数列只可能后者情况发生 准则 ( ) ( ) . ( ) 0 0 0 则 在 的左极限 必定存在 设函数 在 点 的某个左领域内单调并且有界 − f x x f x f x x

山东农形 第二个重要极限 设xn=(1+y,可以证明(1)，1neN,(2x,3. 根据准则Ⅲ，数列{xn}必有极限，此极限用来表示，即 m+分=e. 我们还可以证明 (e, 这就是第二个重要极限. 注：在极限1im[1+o(x)]a(中，只要o(x)是无穷小，就有 lim[1+a(x)](x)=e

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二个重要极限 e x x x + = → ) 1 lim (1  我们还可以证明 这就是第二个重要极限 根据准则II 数列{xn }必有极限, 此极限用e来表示, 即 e n n n + = → ) 1 lim (1  可以证明 (2)x (1)x n3 nxn+1 nN+ 设  n n n x ) 1 =(1+  注: 在极限 ( ) 1 lim[1 ( ) ] x x +  中 只要(x)是无穷小 就有 x e + (x) = 1 lim[1 ( )]   